Linearisieren um einen Punkt(x0,y0) bei einer Funktion mit mehreren veränderbaren Variablen bedeutet, dass ich eine Approximation der Funktion in linearer Form finde. Für unser Beispiel gilt folgende Ansatz:
L(x,y) = f(x0,y0) + ∂z/∂x(x0,y0) * (x - x0) + ∂z/∂y(x0,y0) * (y - y0)
∂z/∂x - partielle Ableitung der Funktion z nach x (y wird hier als Konstante angesehen)
∂z/∂y - partielle Ableitung der Funktion z nach y (x wird hier als Konstante angesehen)
Nun bilden wir die vorgenannten Ableitung: ∂z/∂x = 2*5*y/x und ∂z/∂y = 5*y2*(-1)*x-2 = -5*y2/x2
Und setzen in diese Ableitungen den Punkt (x0,y0) ein: ∂z/∂x(x0,y0) = 2*5*2/1 = 20 und ∂z/∂y(x0,y0) = -5*22/12 = -20
Der Funktionswert von z an der Stelle (x0,y0) ist z(x0,y0) = 522/1 = 20
Das alles setzen wir in L(x,y) ein und erhalten
L(x,y) = 20 + -20 * (x - x0) + 20 * (y - y0) = 20*[1 -1(x -1) +(y -2)] = 20*(1 -x +1 + y - 2) = 20*(y -x)
Wenn ich jetzt für L den Punkt (x0,y0) einsetze, erhalte ich L(1,2) = 20*(2-1) = 20 und das ist gleich dem exakten Funktionswert f(x0,y0) = 20
