Tangentialebene der durch f definierten Fläche. z:= f(x,y):= sin(xy)/e^{xy}

Question

Aufgabe:

Betrachte die Funktion zweier Variablen

\( \mathrm{z}: \quad \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}): \quad=\frac{\sin (\mathrm{xy})}{\mathrm{e}^{\mathrm{xy}}} \quad\left(<\mathrm{x}, \mathrm{y}>\in \mathrm{R}^{2}\right) \)

(i) Welches ist die Tangentialebene an den Graphen der durch \( \mathrm{f} \) definierten Fläche im Punkt

\( \mathrm{P}:=<\sqrt{\pi}, \sqrt{\pi}, \mathrm{f}(\sqrt{\pi}, \sqrt{\pi})>? \)

(ii) In welchem Punkt schneidet die durch den Normalenvektor an die Fläche in P bestimmte Gerade durch P die Ebene \( E:=\left\{\langle x, y, z\rangle:\left\langle x, y>\in R^{2}, z=1\right\}\right. \)?

Answer 1

Du brauchst in dem Punkt zwei Richtungsableitungen. Z.B. in Richtung (1;0) das gibt eine Zahl a und
in Richtung (0;1) das gibt eine Zahl b
Dann sind (1;0;a) und ( 0;1;b) Richtungsvektoren der Tangentialebene im Punkt P.


Durch das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren erhältst du einen Normalenvektor
der Tangentialebene. Dieser soll der Richtungsvektor einer Geraden durch P sein.
Und diese Gerade schneidest du dann mit der Ebene , welche die Gleichung z=1 hat.