Aloha :)
a) Wir schreiben die Abbildungsvorschrift zunächst mit Hilfe einer Matrix.
$$L\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\right)=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ -2 x_{1}+x_{2}+2 x_{3} \\ -3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3} \\ 2 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1x_1\\-2x_1\\-3x_1\\2x_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{r}0x_2\\1x_2\\2x_2\\1x_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{r}0x_3\\2x_3\\4x_3\\2x_3\end{array}\right)$$$$L\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\right)=\left(\begin{array}{r}1 & 0 & 0\\-2 & 1 & 2\\-3 & 2 & 4\\2 & 1 & 2\end{array}\right)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$Wir bestimmen Bild und Kern, indem wir die Abbildungsmatrix auf Dreieckform bringen und alle dazu nötigen Schritte an einer Einheitsmatrix wiederholen:$$\left(\begin{array}{r}+S_3 & &-2S_2\\\hline 1 & 0 & 0\\-2 & 1 & 2\\-3 & 2 & 4\\2 & 1 & 2\end{array}\right) \quad \left(\begin{array}{r}+S_3 & &-2S_2\\\hline1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}\vec b_1 & \vec b_2 &\\\hline 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\1 & 2 & 0\\4 & 1 & 0\end{array}\right) \quad \left(\begin{array}{r} & & \vec k_1\\\hline1 & 0 & 0\\0 & 1 & -2\\1 & 0 & 1\end{array}\right)$$Wir lesen die gesuchten Basen ab:$$\operatorname{img}(L)=\left(\begin{pmatrix}1\\0\\1\\4\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\2\\1\end{pmatrix}\right)\quad;\quad\operatorname{ker}(L)=\left(\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}\right)$$
b) Auch hier schreiben wir die Abbildungsvorschrift zuerst als Matrix.
$$L\left(\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{array}\right)\right)\!=\!\left(\begin{array}{c}x_{1}+x_{3}+2 x_{4} \\ 2 x_{1}+x_{2}+x_{4} \\ 3 x_{1}+x_{2}+x_{3}+3 x_{4}\end{array}\right)\!=\!\left(\begin{array}{r}1x_1\\2x_1\\3x_1\end{array}\right)\!\!+\!\!\left(\begin{array}{c}0\\x_2\\x_2\end{array}\right)\!\!+\!\!\left(\begin{array}{c}x_3\\0\\x_3\end{array}\right)\!\!+\!\!\left(\begin{array}{r}2x_4\\1x_4\\3x_4\end{array}\right)$$$$L\left(\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{r}1 & 0 & 1 & 2\\2 & 1 & 0 & 1\\3 & 1 & 1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right)$$Wir bestimmen wieder Bild und Kern:$$\left(\begin{array}{r}& & -S_1 & -2S_1\\\hline1 & 0 & 1 & 2\\2 & 1 & 0 & 1\\3 & 1 & 1 & 3\end{array}\right) \quad \left(\begin{array}{r}& & -S_1 & -2S_1\\\hline 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}-2S_2& & +2S_2 & +3S_2\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\2 & 1 & -2 & -3\\3 & 1 & -2 & -3\end{array}\right) \quad \left(\begin{array}{r}-2S_2& & +2S_2 & +3S_2\\\hline 1 & 0 & -1 & -2\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}\vec b_1 & \vec b_2 & & \\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0\end{array}\right) \quad \left(\begin{array}{r}& & \vec k_1 & \vec k_2\\\hline 1 & 0 & -1 & -2\\-2 & 1 & 2 & 3\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Wir lesen die gesuchten Basen ab:$$\operatorname{img}(L)=\left(\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\right)\quad;\quad\operatorname{ker}(L)=\left(\begin{pmatrix}-1\\2\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-2\\3\\0\\1\end{pmatrix}\right)$$
