Basis von Bild und Kern einer Matrix bestimmen.

Question

Hi, ich wollte mal fragen ob meine Lösungen zu dieser Aufgabe richtig sind: 

Bestimmen Sie eine Basis von Bild und Kern der folgenden Matrix.

A = $$\begin{matrix}1 & 1 & 1 & -1 \\-1 & 1 & -5 & 7 \\2 & 2 & 2 & -2 \\\end{matrix}$$

Den Kern hab ich wie folgt berechnet

1) x + y + z - t

2) -x + y -5z + 7t

3) 2x + 2y + 2z -2t

1) + 2) gibt 

4)  2y -4z +6t

Dann hab ich -2 * 1) + 3) ergibt

0 = 0. Für z habe ich mir jetzt z = 1 gewählt und mit 4) weiter gemacht.

2y -4*1 + 6t = 0. Sei t = w

2y - 4 + 6w = 0 | +4 | -6w

2y = -6w +4 | :2

y = -3w + 2

Jetzt habe ich alle Variablen in 1) eingesetzt.

x -3w +2 +1 -w = 0 |+4w | -3

x = 4w-3

Damit habe ich ker(A) = {λ  * \begin{pmatrix} 4w-3\\-3w+2\\1\\w \end{pmatrix} | λ ∈ ℝ}

Für das Bild habe ich zuerst die Matrix transponiert also

$$\begin{matrix}1 & 1 & 1 & -1 \\-1 & 1 & -5 & 7 \\2 & 2 & 2 & -2 \\\end{matrix}$$ habe ich zu

$$\begin{matrix}1 & -1 & 2 \\1 & 1 & 2 \\1 & -5 & 2 \\-1 & 7 & -2\end{matrix}$$ 

gemacht.

2 Zeile - 3 Zeile ergibt

$$\begin{matrix}1 & -1 & 2\\1 & 1 & 2 \\0 & -6 & 0 \\-1 & 7 & -2\end{matrix}$$

2 Zeile + 4 Zeile gibt

$$\begin{matrix}1 & -1 & 2\\1 & 1 & 2 \\0 & -6 & 0 \\0 & 8 & 0\end{matrix}$$

3 Zeile * 4 + 4 Zeile * 3 gibt

$$\begin{matrix}1 & -1 & 2\\1 & 1 & 2 \\0 & -6 & 0 \\0 & 0 & 0\end{matrix}$$

Jetzt wieder zurücktransponieren

$$\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\-1 & 1 & -6 & 0 \\2 & 2 & 0 & 0 \\\end{matrix}$$

Damit ist img(A) = { λ₁ * \begin{pmatrix} 1\\-1\\2 \end{pmatrix} + λ_{2 *} \begin{pmatrix} 1\\1\\2 \end{pmatrix} + λ₃ * \begin{pmatrix} 0\\-6\\0 \end{pmatrix}}

Wäre nett wenn mir jemand sagen könnte obs stimmt, und gegebenfalls die richtige Lösung zeigt. Vielen Dank schonmal. Gruß :)

Answer 1

Deine Lösung für den Kern kann nicht stimmen; denn

alle 4 Variablen gleich 0 ist ja sicher eine Lösung,

wird bei dir aber nicht vorkommen.

"Für z habe ich mir jetzt z = 1 gewählt und mit 4) weiter gemacht.

Das war der Fehler, du musst auch für z einen beliebigen Wert 

wie w  oder so nehmen.

Ich habe z=u und t=w gewählt und komme auf

-3u + 4w
2u-3w
u
w

bzw.  

       -3             4
        2             -3
        1             0
        0             1

als Basis für den Kern.

Das Bild stimmt.

Answer 2

 

Du machst Dir hier zu viel Arbeit:

Du musst nur die Matrix mit Hilfe des Gauss-Algorithmus auf Zeilen-Stufenform bringen:  

A=

1	1	1	-1
-1	1	-5	7
2	2	2	-2

Dann erhältst Du

1	1	1	-1
0	1	-2	3
0	0	0	0

Aus dieser Matrix kannst Du die Basisvektoren aus der Grundmatrix A gleich ablesen. Diejenigen Vektoren aus der Startmatrix, die einen Zeilensprung auslösen (fett), sind die Basisvektoren des Bildes, also

$$ Bild(A) = span\{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\} $$

Mit dieser Matrix rechnest Du auch den Kern aus und erhältst:

$$ Kern(A) = span\{\begin{pmatrix}-3\\2\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}4\\-3\\0\\1\end{pmatrix}\} $$

fertig !!!

Comments

Danke dir ich denke ich habs verstanden :)