Lineare Abbildungen: Dim bestimmen und die Basis vom Kern

Question

Aufgabe:

Es seien die folgenden Basen des R[x]≤1 = {ax + b | a, b ∈ R} gegeben:
                    B1 = {x + 2, 1}, B2 = {−2x + 1, x + 5}.

               Außerdem sei die lineare Abbildung f : R[x]≤1 → R[x]≤1 durch die folgenden Bilder gegeben
                    f(x + 2) = −2x + 1, f(1) = x + 5.

b) Bestimmen Sie dim(Bild(f)).

c) Geben Sie eine Basis von Kern(f) an.

Könntet ihr mir helfen diese Aufgaben zu lösen oder ein Schema zu finden, dass ich hier anwenden kann.

Mfg

Answer 1

Hallo

die Abbildung bildet ja B1 auf  B2 ab, da beides Basen sind ist das Bild also wieder das ganze R[x]≤1 also ist der Kern 0

Gruß lul

Comments

Vielen Dank,

wie berechnet man denn die dim(Bild(f)).

Meine Idee war eine Matrix zu erstellen und es dann an der Zeilenstufenform abzulesen, hänge aber fest.

-2x+1 = a * (-2x+1) + b * (x+5)

wie bringe ich das jetzt in die Form -2x+1 = a * x + b ?


Mfg.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Uns sind zwei Basen vorgegeben:$$\text{Basis }B_1=\{\;x+2\,,\,1\}\quad;\quad \text{Basis }B_2=\{\;-2x+1\,,\,x+5\}$$Zusätzlich ist eine Abbildung \(f\) vorgegeben mit:$$f(x+2)=-2x+1\quad;\quad f(1)=x+5$$Offensichtlich bildet \(f\) die Basisvektoren von \(B_1\) direkt auf die Basisvektoren von \(B_2\) ab:

$$\binom{1}{0}_{B_2}={_{B_2}}\mathbf F_{B_1}\cdot\binom{1}{0}_{B_1}\quad;\quad\binom{0}{1}_{B_2}={_{B_2}}\mathbf F_{B_1}\cdot\binom{0}{1}_{B_1}\quad;\quad{_{B_2}}\mathbf F_{B_1}\coloneqq\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$$

Die Abbildungsmatrix ist die Einheitsmatrix, die bekanntlich invertierbar ist. Daher ist die Abbildung bijektiv. Das heißt, der Kern enthält nur den Nullvektorm hat also Dimension \(0\), und die Dimension des Bildes ist gleich dem Rang \(2\) der Matrix.

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Vielen Dank!