Zeigen Sie: Wenn h injektiv ist, ist h⊤ : W* → V* surjektiv.

Question

Sei h : V → W eine lineare Abbildung. Zeigen Sie: Wenn h injektiv ist, ist h^⊤ : W^∗ → V^∗ surjektiv. Hinweis: Satz 51 könnte sich als nützlich erweisen.

Satz 51. Seien V;W zwei K-Vektorraume, B eine Basis von V , und f : B → W eine beliebige Funktion. Dann existiert genau eine lineare Abbildung h: V → W mit h(b) = f(b) für alle b ∈ B.

Comments

Was hast du schon versucht? Weißt du, was das Dual von der Verknüpfung zweier Abbildungen ist?

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Ist das nicht dieselbe Frage wie Deine andere, die ja schon beantwortet ist.

Answer 1

Da sich der Fragesteller nicht mehr meldet...

Low-Level-Lösung: Da \(h\) injektiv ist, bildet \(h\) eine beliebige Basis \(B\) von \(V\) auf eine linear-unabhängige Menge \(B_W\) ab, die sich mit \(B'_W\) zu einer Basis von \(W\) auffüllen lässt.

Jetzt nehmen wir uns einen beliebigen Covektor \(v^*:V\longrightarrow K\) und wollen ein \(w^*:W\longrightarrow K\) konstruieren mit \(h^T(w^*)=v^*\), also für alle \(v\in V\) soll gelten: \(v^*(v)=w^*(h(v))\).

Wir definieren die Funktionswerte von \(w^*\) auf der Basis \(B_W\cup B'_W\) folgendermaßen: für \(b_w = h(b)\) für ein \(b_w\in B_W,b\in B\) setzen wir: \(w^*(b_w):=v^*(b)\), alle \(b'_w\in B'_W\) schicken wir auf \(w^*(b'_w):=0\).

Diese Abbildung ist wohldefiniert, da \(h\) injektiv ist. Per Konstruktion ist \(w^*\) ein Urbild von \(v^*\), was die Surjektivität von \(h^T\) beweist.

High-Level-Lösung: Da \(h\) injektive lineare Abbildung zwischen Vektorräumen ist, existiert ein Linksinverses \(g:W\longrightarrow V\) mit \(g\circ h=id_V\). Jetzt ist die Dualkonstruktion aber ein kontravarianter Endofunktor \(\mathrm{Vec}_K\longrightarrow \mathrm{Vec_K}\). Folglich gilt: \(h^T\circ g^T=id_{V^*}\), die Abbildung \(h^T\) besitzt also ein Rechtsinverses und ist damit surjektiv.