Ist h ∈ Hom(V, W ) injektiv, so gilt ∀ v*∈ V* ∃ w* ∈ W* : v* = w*◦ h

Question

Aufgabe:

Seien V, W Vektorräume über K und U ein Unterraum von V . Zeigen Sie: Ist h ∈ Hom(V, W ) injektiv, so gilt

∀ v*∈ V* ∃ w* ∈ W* : v* = w*◦ h.

Comments

Es wird ein Unterraum U eingeführt, aber dann nicht mehr erwähnt. Fehlt da etwas?

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Die Frage war eigentlich länger, ich habe nur den Teil genommen, den ich nicht lösen kann, und nicht darauf geachtet, dass ich den Unterraum auch löschen könnte ;)

Answer 1

Hallo mal wieder! Hatte deinen Kommentar nicht gesehen ;)

Wir geben so ein $w^*$ einfach mal explizit an, folgendermaßen:

Wir nehmen uns erst eine Basis $(b_i)_{i\in\mathcal{I}}$ von $\text{im}(h)$. Diese füllen wir mittels $(c_j)_{j\in \mathcal{J}}$ zu einer Basis von $W$ auf. Wir müssen jetzt also, um $w^*$ zu definieren, sagen, was unsere $w^*(b_i)$ und was unsere $w^*(c_j)$ sind, also wo welcher Basisvektor hingeschickt wird.

Damit die gefragte Gleichung überhaupt erfüllt werden kann, müssen wir schon $w^*(b_i)=v^*(x_i)$ setzen, für ein $x_i$, sodass $h(x_i)=b_i$. Es gibt so ein $x_i$ für jedes $b_i$, da alle $b_i\in\text{im}(h)$, und diese $x_i$ sind eindeutig wegen Injektivität von $h$. Wenn $h$ also nicht injektiv wäre, dann wäre diese Vorschrift gar nicht wohldefiniert!

Wo schicken wir die anderen Basisvektoren hin, also was ist $w^*(c_j)$? Das ist glücklicherweise komplett irrelevant für die obere Gleichung, da die einzige Einschränkung, wie $w^*$ auszusehen hat, innerhalb des Bildes von $h$ lebt. Wir können also faul sein und einfach alle $w^*(c_j)=0$ setzen und sind feddisch. :)

Nochmal kurz zur Wohldefiniertheit, da ich hier garnichts wirklich gezeigt sondern nur konstruiert habe: Angenommen, $h$ wäre nicht injektiv, also es gäbe $x\neq 0$ mit $h(x)=0$. Nimm dir jetzt ein $v^*$ mit $v^*(x)=1$. Jetzt muss wegen obiger Gleichung erstmal $w^*(h(x))=v^*(x)=1$ erfüllen, gleichzeitig aber auch $w^*(h(x))=w^*(0)=0$ wegen Linearität, was die Wohldefiniertheit in diesem Fall unmöglich macht.