Ist h ∈ Hom(V, W ) injektiv, so gilt ∀ v*∈ V* ∃ w* ∈ W* : v* = w*◦ h

Question

Aufgabe:

Seien V, W Vektorräume über K und U ein Unterraum von V . Zeigen Sie: Ist h ∈ Hom(V, W ) injektiv, so gilt

∀ v*∈ V* ∃ w* ∈ W* : v* = w*◦ h.

Comments

Es wird ein Unterraum U eingeführt, aber dann nicht mehr erwähnt. Fehlt da etwas?

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Die Frage war eigentlich länger, ich habe nur den Teil genommen, den ich nicht lösen kann, und nicht darauf geachtet, dass ich den Unterraum auch löschen könnte ;)

Answer 1

Hallo mal wieder! Hatte deinen Kommentar nicht gesehen ;)

Wir geben so ein \(w^*\) einfach mal explizit an, folgendermaßen:

Wir nehmen uns erst eine Basis \((b_i)_{i\in\mathcal{I}}\) von \(\text{im}(h)\). Diese füllen wir mittels \((c_j)_{j\in \mathcal{J}}\) zu einer Basis von \(W\) auf. Wir müssen jetzt also, um \(w^*\) zu definieren, sagen, was unsere \(w^*(b_i)\) und was unsere \(w^*(c_j)\) sind, also wo welcher Basisvektor hingeschickt wird.

Damit die gefragte Gleichung überhaupt erfüllt werden kann, müssen wir schon \(w^*(b_i)=v^*(x_i)\) setzen, für ein \(x_i\), sodass \(h(x_i)=b_i\). Es gibt so ein \(x_i\) für jedes \(b_i\), da alle \(b_i\in\text{im}(h)\), und diese \(x_i\) sind eindeutig wegen Injektivität von \(h\). Wenn \(h\) also nicht injektiv wäre, dann wäre diese Vorschrift gar nicht wohldefiniert!

Wo schicken wir die anderen Basisvektoren hin, also was ist \(w^*(c_j)\)? Das ist glücklicherweise komplett irrelevant für die obere Gleichung, da die einzige Einschränkung, wie \(w^*\) auszusehen hat, innerhalb des Bildes von \(h\) lebt. Wir können also faul sein und einfach alle \(w^*(c_j)=0\) setzen und sind feddisch. :)

Nochmal kurz zur Wohldefiniertheit, da ich hier garnichts wirklich gezeigt sondern nur konstruiert habe: Angenommen, \(h\) wäre nicht injektiv, also es gäbe \(x\neq 0\) mit \(h(x)=0\). Nimm dir jetzt ein \(v^*\) mit \(v^*(x)=1\). Jetzt muss wegen obiger Gleichung erstmal \(w^*(h(x))=v^*(x)=1\) erfüllen, gleichzeitig aber auch \(w^*(h(x))=w^*(0)=0\) wegen Linearität, was die Wohldefiniertheit in diesem Fall unmöglich macht.