h is injektiv, wenn für jede linear unabhängige U von V die Menge {h(u) | u ∈ U} l.u. Teilmenge von W ist.

Question

Aufgabe:

Seien V, W zwei K-Vektorraume und h: V → W eine lineare Abbildung. Zeigen Sie

a) h ist genau dann injektiv, wenn fur jede linear unabhangige Teilmenge U von V die Menge {h(u) |
u ∈ U} eine linear unabhangige Teilmenge von W ist.

Problem/Ansatz:

Ist das nicht im Grunde trivial da man ja sieht das wenn man eine lineare Abbildung auf V hat und eine Untermenge dann hat die abgebildet auf muss ja dann auch wieder eine linear unabhaengige Teilmenge sein.

Aber ich bin mir nicht siche rob ich die Frage ueberhaupt richtig verstehe. Danke schonmal im voraus und sorry fuer meine Inkompetenz.

Answer 1

Hallo

ja es ist direkt intuitiv richtig, trotzdem muss man es formal aufschreiben. Deine Worte genügen nicht.

Def von injektiv aufschreiben, auf f anwenden.

Comments

Danke schonmal fuer die Antwort, jetzt nochmal zu nachhaken.

Also ich muss ja 2 Richtungen zeigen, zu Beginn nehme ich an h ist injektiv dann muss ich zeigen dass fuer jede linear unabhaenige Teilmenge in V auch eine existiert in W die so aussieht ({h(u) | u ∈ U}

Und in die andere Richtung ja ebenfalls.

Aber ich sehe keinen Weg wie ich die injektivitaet zeigen kann mithilfe von dem Fakt das ich die l.u. Teilmengen habe.

Also mein Problem ist noch ich sehe den formellen Beweis noch nicht wirklich.