Aufgabe:
Es sei \( A \in \operatorname{Mat}_{m \times n}(\mathbb{R}) \). Wir bezeichnen mit \( F_{A}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} \) die lineare Abbildung, die durch Multiplikation mit \( A \) gegeben ist. Für \( \mathbf{b} \in \mathbb{R}^{m} \) bezeichnen wir mit \( \mathbb{L}_{A, \mathbf{b}} \) die Lösungsmenge für das lineare Gleichungssystem \( A \cdot \mathbf{x}=\mathbf{b} \).
Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
(a) Wenn \( F_{A} \) injektiv ist, dann hat das lineare Gleichungssystem \( A \cdot \mathbf{x}=\mathbf{b} \) für jedes \( \mathbf{b} \in \mathbb{R}^{m} \) genau eine Lösung.
(b) Wenn \( \mathbf{x}_{0} \in \mathbb{R}^{n} \) eine Lösung für das lineare Gleichungssystem \( A \cdot \mathbf{x}=\mathbf{b} \) ist, dann gilt \( \mathbb{L}_{A, \mathbf{b}}= \) \( \mathbf{x}_{0}+\operatorname{ker} F_{A} \).
(c) Die Menge \( \left\{\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{m}: \mathbb{L}_{A, \mathbf{b}}=\emptyset\right\} \) bildet einen Untervektorraum von \( \mathbb{R}^{m} \).
Problem/Ansatz:
Kann mir jemand sagen was ich hier tun soll?