FA injektiv wenn, LGS, Untervektorraum

Question

Aufgabe:

Es sei $A \in \operatorname{Mat}_{m \times n}(\mathbb{R})$. Wir bezeichnen mit $F_{A}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ die lineare Abbildung, die durch Multiplikation mit $A$ gegeben ist. Für $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{m}$ bezeichnen wir mit $\mathbb{L}_{A, \mathbf{b}}$ die Lösungsmenge für das lineare Gleichungssystem $A \cdot \mathbf{x}=\mathbf{b}$.
Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
(a) Wenn $F_{A}$ injektiv ist, dann hat das lineare Gleichungssystem $A \cdot \mathbf{x}=\mathbf{b}$ für jedes $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{m}$ genau eine Lösung.
(b) Wenn $\mathbf{x}_{0} \in \mathbb{R}^{n}$ eine Lösung für das lineare Gleichungssystem $A \cdot \mathbf{x}=\mathbf{b}$ ist, dann gilt $\mathbb{L}_{A, \mathbf{b}}=$ $\mathbf{x}_{0}+\operatorname{ker} F_{A}$.
(c) Die Menge $\left\{\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{m}: \mathbb{L}_{A, \mathbf{b}}=\emptyset\right\}$ bildet einen Untervektorraum von $\mathbb{R}^{m}$.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand sagen was ich hier tun soll?

Comments

Hast du Vermutungen zu a,b,c)? Hast du einfache Beispiele durchgerechnet? Wo hast du Probleme?

Answer 1

a) Hier findet man leicht ein Gegenbeispiel für $m<n$. Nutze aus, dass die Abbildung genau dann injektiv ist, wenn der Kern der Matrix nur den Nullvektor enthält.

b) Betrachte den Vektor $z=x_0+y$ mit $y\in \ker(F_A)$ und prüfe, ob $z$ eine Lösung ist.

c) Gehe die Eigenschaften für einen UVR durch. Das Resultat sollte man dann relativ schnell sehen.