FA injektiv wenn, LGS, Untervektorraum

Question

Aufgabe:

Es sei \( A \in \operatorname{Mat}_{m \times n}(\mathbb{R}) \). Wir bezeichnen mit \( F_{A}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} \) die lineare Abbildung, die durch Multiplikation mit \( A \) gegeben ist. Für \( \mathbf{b} \in \mathbb{R}^{m} \) bezeichnen wir mit \( \mathbb{L}_{A, \mathbf{b}} \) die Lösungsmenge für das lineare Gleichungssystem \( A \cdot \mathbf{x}=\mathbf{b} \).
Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
(a) Wenn \( F_{A} \) injektiv ist, dann hat das lineare Gleichungssystem \( A \cdot \mathbf{x}=\mathbf{b} \) für jedes \( \mathbf{b} \in \mathbb{R}^{m} \) genau eine Lösung.
(b) Wenn \( \mathbf{x}_{0} \in \mathbb{R}^{n} \) eine Lösung für das lineare Gleichungssystem \( A \cdot \mathbf{x}=\mathbf{b} \) ist, dann gilt \( \mathbb{L}_{A, \mathbf{b}}= \) \( \mathbf{x}_{0}+\operatorname{ker} F_{A} \).
(c) Die Menge \( \left\{\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{m}: \mathbb{L}_{A, \mathbf{b}}=\emptyset\right\} \) bildet einen Untervektorraum von \( \mathbb{R}^{m} \).

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand sagen was ich hier tun soll?

Comments

Hast du Vermutungen zu a,b,c)? Hast du einfache Beispiele durchgerechnet? Wo hast du Probleme?

Answer 1

a) Hier findet man leicht ein Gegenbeispiel für \(m<n\). Nutze aus, dass die Abbildung genau dann injektiv ist, wenn der Kern der Matrix nur den Nullvektor enthält.

b) Betrachte den Vektor \(z=x_0+y\) mit \(y\in \ker(F_A)\) und prüfe, ob \(z\) eine Lösung ist.

c) Gehe die Eigenschaften für einen UVR durch. Das Resultat sollte man dann relativ schnell sehen.