Es sei V ein Vektorraum über R und u, v seien linear unabhängige Vektoren aus V.

Question

Aufgabe:

Es sei \( V \) ein Vektorraum über \( \mathbb{R} \) und \( u, v \) seien linear unabhängige Vektoren aus \( V \). Weiter sei \( T:=\{u+2 v, 2 u+v\} \). Untersuchen Sie, ob \( u \in \operatorname{Span}(T) \) gilt, und stellen Sie, falls möglich, \( u \) als Linearkombination der Elemente von \( T \) dar.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nich, welche vektoren u, v sind. Kann mir jemand dabei helfen. Danke schon mal im voraus

Answer 1

Egal was u und v ist, sie sind jedenfalls lin. unabhängig.

Wenn man u mit den Elementen von T darstellen kann, gibt es a,b ∈ℝ mit

a*(u+2v) + b(2u+v) = u

==> (a+2b-1)u + (2a+b)v = 0

Wegen a,b lin. unabhängig folgt also

a+2b-1 = 0   und  2a+b= 0

also a=-1/3 und b=2/3 also ist

(-1/3) *(u+2v) + (2/3)(2u+v) = u

die gesuchte Darstellung und damit ist u∈Span(T).

Comments

warum ist bei (a+2b-1), die -1 dabei?

Trotzdem danke für die antwort

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ausgerechnet:

a*(u+2v) + b(2u+v) = u

au+2av + 2bu+bv = u

au+2av + 2bu+bv - u = 0 

ordnen und u bzw. v ausklammern:

(a+2b-1)u + (2a+b)v = 0

Answer 2

Hallo

u,v sind 2 linear unabhängige Vektoren,  die einen 2d UVR  U aufspannen. mehr weisst du nicht über sie

w1=u+2v und w2=2u+v  die wieder einen UVR hier T aufspannen

jetzt sollst du feststellen ob u in T liegt, d,h kann man u=r*w1+s*w2 schreiben  und wenn ja wie?

lul