Zeigen, dass es eine lineare Abbildung ϕ :V->V mit Kern(ϕ)=Bild(ϕ) gibt, wenn n gerade ist.

Question

bei folgender Aufgabe weiß ich nicht weiter:

Sei n ∈ ℕ und V ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Zeigen Sie, dass es genau dann eine lineare Abbildung  ϕ :V->V mit Kern(ϕ)=Bild(ϕ) gibt, wenn n gerade ist.

Comments

Lies auch hier schon mal https://www.mathelounge.de/676787/vektorraum-eine-lineare-abbildung-heisst-idempotent-falls

Answer 1

Laut Dimensionssatz ist dim(V) = dim(Kern(ϕ)) + dim(Bild(ϕ)).

Begründe, dass dim(Kern(ϕ)) ≠ dim(Bild(ϕ)) sein muss, wenn dim(V) ungerade ist.

Sei dim(V) = 2n mit n ∈ℕ. Sei B := {v₁, ..., v_n} ∪ {w₁, ..., w_n} eine Basis von V.

Gib eine lineare Abbildung ϕ: V→V an, so dass Kern(ϕ) = Bild(ϕ) ist.

Tipp: Jede lineare Abbildung ist durch die Bilder der Basisvektoren eindeutig bestimmt.

Comments

Danke, dass hilft mir auf jeden Fall weiter.

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Die lineare Abbildung f: R² -> R² mit

f(e₁) = e₂

und  f(e₂) = 0

erfüllt die gewünschte Bedingung, wie man leicht nachprüft.

Answer 2

Die lineare Abbildung f: R2 -> R2 mit

f(e1) = e2

und  f(e2) = 0

erfüllt die gewünschte Bedingung, wie man leicht nachprüft. Und dies lässt sich dann verallgemeinern: Gehe von Oswalds Vorschlag aus und lege fest

f(v_i) = w_i

f(w_i) = 0

für alle i. Dass dann im f = ker f gilt, lässt sich auch sehr schön und vor allem schnell an der Abbildungsmatrix ablesen, die fix aufgestellt ist.