Zeigen Sie, dass es ein n ≥ 1 gibt mit V = Bild(ϕn) ⊕ Kern(ϕn) .

Question

Aufgabe:

Es seien K ein Körper, V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und ϕ ∈ End_K(V).
Zeigen Sie, dass es ein n ≥ 1 gibt mit V = Bild(ϕⁿ) ⊕ Kern(ϕⁿ) .
Hinweis: Es ist Kern(ϕⁱ) ≤ Kern(ϕⁱ⁺¹) für alle i ≥ 1.

Problem/Ansatz:

Hallo, bei dieser Aufgabe fehlt mir jeglicher Ansatz... Ich bin dankbar für eure Hilfe!

(Die Aufgabe ist Nr. b) auf dem Foto. Vielleicht hilft ja auch a) dabei.)

Text erkannt:

Es seien \( K \) ein Körper, \( V \) ein endlich-dimensionaler \( K \)-Vektorraum und \( \varphi \in \operatorname{End}_{K}(V) \).
a) Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
i) \( \operatorname{Kern}(\varphi)=\operatorname{Kern}\left(\varphi^{2}\right) \).
ii) \( \operatorname{Bild}(\varphi) \cap \operatorname{Kern}(\varphi)=\{0\} \).
iii) \( V=\operatorname{Bild}(\varphi) \oplus \operatorname{Kern}(\varphi) \).
iv) \( \operatorname{Bild}(\varphi)=\operatorname{Bild}\left(\varphi^{2}\right) \).
b) Zeigen Sie, dass es ein \( n \geq 1 \) gibt mit
\( V=\operatorname{Bild}\left(\varphi^{n}\right) \oplus \operatorname{Kern}\left(\varphi^{n}\right) \)
Hinweis: Es ist \( \operatorname{Kern}\left(\varphi^{i}\right) \leq \operatorname{Kern}\left(\varphi^{i+1}\right) \) für alle \( i \geq 1 \).

Answer 1

Vielleicht hilft ja auch a) dabei.

In der Tat.

Wenn man dem Hinweis folgt, sieht man, dass es ein \(n\geq 1\) geben muss,

so dass \(Kern(\varphi^{n+i})=Kern(\varphi^{n})\; \forall i \in \mathbb{N}\) gilt.

Insbesondere gilt dann auch \(Kern(\varphi^n)=Kern((\varphi^n)^2)\).

Nun wende a) an.