Bild/Kern einer linearen Abbildung & Vekettung von linearen Abbildungen

Question

a) Berechnen Sie eine Basis von Kern und Bild der linearen Abbildung \( f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, \) die durch\[f\left(\vec{e}_{1}\right)=\left(\begin{array}{c}{-2} \\{1} \\{0} \\{1}\end{array}\right), \quad f\left(\vec{e}_{2}\right)=\left(\begin{array}{c}{1} \\{-2} \\{1} \\{0}\end{array}\right), \quad f\left(\vec{e}_{3}\right)=\left(\begin{array}{c}{0} \\{1} \\{-2} \\{1}\end{array}\right), \quad f\left(\vec{e}_{4}\right)=\left(\begin{array}{c}{1} \\{0} \\{1} \\{-2}\end{array}\right)\]gegeben ist.

b) Es seien \( f, g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) gegeben durch\[f\left(\vec{e}_{1}\right)=\left(\begin{array}{c}{1} \\{10}\end{array}\right), \quad f\left(\vec{e}_{2}\right)=\left(\begin{array}{c}{2} \\{3}\end{array}\right), \quad g\left(\vec{e}_{1}\right)=\left(\begin{array}{c}{1} \\{4}\end{array}\right), \quad g\left(\vec{e}_{2}\right)=\left(\begin{array}{c}{2} \\{2}\end{array}\right)\]Berechnen Sie die Hintereinanderausführung \( g \circ f\left(\vec{e}_{1}\right), g \circ f\left(\vec{e}_{2}\right) \) sowie \( f \circ g\left(\vec{e}_{1}\right), f \circ g\left(\vec{e}_{2}\right) \)

Answer 1

Aloha :)

Schreibe alle Basisvektoren als Spalten in eine Matrix und schreibe eine quadratische Einheitsmatrix daneben, die genauso viele Spalten hat wie die Matrix mit den Basisvektoren.

$$\left(\begin{array}{c}-2 & 1 & 0 & 1\\1 & -2 & 1 & 0\\0 & 1 & -2 & 1\\1 & 0 & 1 & -2\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Jetzt bringen wir die linke Matrix durch Spaltenumformungen auf Stufenform und führen alle dazu notwendigen Schritte auch an der Einheitsmatrix durch:

$$\left(\begin{array}{c}{} & \cdot2 & {} & \cdot2\\-2 & 1 & 0 & 1\\1 & -2 & 1 & 0\\0 & 1 & -2 & 1\\1 & 0 & 1 & -2\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{c}{} & \cdot2 & {} & \cdot2\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}{} & +S_1 & {} & +S_1\\-2 & 2 & 0 & 2\\1 & -4 & 1 & 0\\0 & 2 & -2 & 2\\1 & 0 & 1 & -4\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{c}{} & +S_1 & {} & +S_1\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 2 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}{} & {} & \cdot3 & \cdot3\\-2 & 0 & 0 & 0\\1 & -3 & 1 & 1\\0 & 2 & -2 & 2\\1 & 1 & 1 & -3\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{c}{} & {} & \cdot3 & \cdot3\\1 & 1 & 0 & 1\\0 & 2 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}{} & {} & +S_2 & +S_2\\-2 & 0 & 0 & 0\\1 & -3 & 3 & 3\\0 & 2 & -6 & 6\\1 & 1 & 3 & -9\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{c}{} & {} & +S_2 & +S_2\\1 & 1 & 0 & 3\\0 & 2 & 0 & 0\\0 & 0 & 3 & 0\\0 & 0 & 0 & 6\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}{} & {} & {} & +2S_3\\-2 & 0 & 0 & 0\\1 & -3 & 0 & 0\\0 & 2 & -4 & 8\\1 & 1 & 4 & -8\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{c}{} & {} & {} & +2S_3\\1 & 1 & 1 & 4\\0 & 2 & 2 & 2\\0 & 0 & 3 & 0\\0 & 0 & 0 & 6\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}-2 & 0 & 0 & 0\\1 & -3 & 0 & 0\\0 & 2 & -4 & 0\\1 & 1 & 4 & 0\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 1 & 6\\0 & 2 & 2 & 6\\0 & 0 & 3 & 6\\0 & 0 & 0 & 6\end{array}\right)$$

Die ersten 3 Spaltenvektoren links sind ungleich \(\vec 0\), sie bilden eine Basis des Bildes. Der vierte Spaltenvektor links ist gleich \(\vec 0\), daher ist der vierte Spaltenvektor rechts eine Basis des Kerns:$$\text{Basis}(\text{Bild})=\left\{\left(\begin{array}{c}-2\\1\\0\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\-3\\2\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\0\\-1\\1\end{array}\right)\right\}\quad;\quad\text{Basis}(\text{Kern})=\left\{\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right)\right\}$$

Es seien \( f, g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) gegeben durch\[f\left(\vec{e}_{1}\right)=\left(\begin{array}{c}{1} \\{10}\end{array}\right), \quad f\left(\vec{e}_{2}\right)=\left(\begin{array}{c}{2} \\{3}\end{array}\right), \quad g\left(\vec{e}_{1}\right)=\left(\begin{array}{c}{1} \\{4}\end{array}\right), \quad g\left(\vec{e}_{2}\right)=\left(\begin{array}{c}{2} \\{2}\end{array}\right)\]$$\Rightarrow\quad F=\left(\begin{array}{c}1 & 2\\10 & 3\end{array}\right)\quad;\quad G=\left(\begin{array}{c}1 & 2\\4 & 2\end{array}\right)$$$$\Rightarrow\quad f\circ g=F\cdot G=\left(\begin{array}{c}9 & 6\\22 & 26\end{array}\right)\quad;\quad g\circ f=G\cdot F=\left(\begin{array}{c}21 & 8\\24 & 14\end{array}\right)$$$$\Rightarrow\quad g \circ f\left(\vec{e}_{1}\right)=\binom{21}{24}\quad;\quad g \circ f\left(\vec{e}_{2}\right)=\binom{8}{14}$$$$\phantom{\Rightarrow}\quad f \circ g\left(\vec{e}_{1}\right)=\binom{9}{22}\quad;\quad f \circ g\left(\vec{e}_{2}\right)=\binom{6}{26}$$

Answer 2

Schreibe die 4 Bilder der Basisvektoren in eine Matrix und wende

Gauss an, gibt

2     -1     0     -1
0     3      -2     -1
0     0      1     -1
0    0       0     0

also kannst du für die Vektoren aus dem Kern die 4. Komponente

frei wählen , etwa  x4 = t und hast dann

       x3 = t

und  3x2 -2t -t = 0 ==>   x2=t

und  2x^1 -t -t = 0 ==>  x1=t

also bildet  z.B. der Vektor

1
1
1
1

eine Basis des Kerns.

==>  Bild ist 3-dim und die

ersten 3 Spalten der Matrix sind lin. unabh.,

also bilden sie eine Basis von Bild(f).

g∘f(e⃗1) = g (  1   )  =  g (   1*e1  + 10*e2)  = 1*g(e1) + 10*g(e2) = 21
                      10                                                                              24

etc.