Bild und Kern als direkte Summe einer linearen Abbildung beweisen

Question

Aufgabe:

Es seien \( V \) ein \( K \)-Vektorraum der Dimension \( n \) und \( \varphi: V \rightarrow V \) eine lineare Abbildung. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

a) \( \operatorname{ker}(\varphi)+i m g(\varphi) \) ist eine direkte Summe.

b) Es gilt \( \varphi \circ \varphi=\varphi . \) Dann ist \( \operatorname{ker}(\varphi)+\operatorname{img}(\varphi) \) eine direkte Summe.

Comments

Wenn 1) stimmen wuerde, haette man es Dir in der Vorlesung schon gesagt. Ueberlege Dir mal warum.

2) ist enstellt. Gilt ∅ ° ∅, so ... ist voelliger Quatsch. Eine Abbildung kann nicht gelten.