Zeigen, dass V die direkte Summe von f und g ist

Question

Hi Leute

Es seien \( f: \mathrm{R}^{n} \rightarrow \mathrm{R}^{m} \) und \( g: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) lineare Abbildungen mit \( g \circ f= id_{\mathbb R^{n}} \)

(a) Man beweise \( im (f) \cap \operatorname{Ker}(g)=\{0\} \)

(b) Man beweise \( im (f)+\operatorname{Ker}(g)=\mathbb{R}^{m} \)

Weiß jemand, wie b geht? Habe a hinbekommen :)

Answer 1

mit \( g \circ f= id_{\mathbb R^{n}} \)

(b) Man beweise \( im (f)+\operatorname{Ker}(g)=\mathbb{R}^{m} \)

Zuerst mal zu "⊆".  Das ist wohl klar, sind ja beides Teilräume von R^m,

also auch deren Summe.

zu "⊇" ist zu zeigen:  Sei w ∈ R^m. Dann gibt es

u ∈ im(f) und v ∈ ker(g) mit  w = u+v.

Betrachte  u:= f(g(w)) ∈ im(f)  .  Wegen   gof = id folgt

                g(u) = g(f(g(w)))  = g(w)

==>  g(w) - g(u) = 0

==>    g(w - u ) = 0

==>   w- u   ∈  ker(g)

Also ist  w =  u   +   (w-u )  eine Zerlegung von w

in einen Summanden aus im(f) und einen aus ker(g).  q.e.d.

Comments

Ahh, ja natürlich, vielen Dank! Krass, wie du das immer machst