Zeige erst mal "Summe" (ohne direkt).
Sei also \( v \in V \). Dann ist \( \psi(v) \in W \).
Da \( \psi \circ \varphi \) :U → W bijektiv ist, gibt es ein u∈U
mit \( (\psi \circ \varphi)(u)= \psi(v) \).
Und es ist \( \psi(v - \varphi(u)) \) wegen der Linearität
\( = \psi(v) - \psi(\varphi(u)))= \psi(v) - (\psi \circ \varphi)(u) = \psi(v) - \psi(v) \) =0
Also \( w:= v - \varphi(u) \in \operatorname{ker} \psi \)
und damit ist \( v= \varphi(u) + w \in \operatorname{im} \varphi + \operatorname{ker} \psi \) \)
Für die "Direktheit" der Summe bleibt zu zeigen \( \operatorname{im} \varphi \cap \operatorname{ker} \psi = \{ 0 \} \)
Angenommen es gäbe x≠0 mit \( x \in \operatorname{im} \varphi \cap \operatorname{ker} \psi \)
==> Es gibt \( u \in U mit \varphi (u)=x \) und \( \psi (x) = 0 \)
==> \( (\psi \circ \varphi)(u)=0 \)
Also wegen der Bijektivität u=0 und damit auch x=0. Widerspruch!