Zeigen, dass V die direkte Summe von Bild und Kern ist

Question

Hallo,

ich hänge gerade bei folgender Aufgabe fest und habe den Ansatz, weiß nur nicht, wie ich die gegebene Information in meinem Beweis einbringen soll. Ich weiß bereits, dass man 1) zeigen soll, dass Kern n Bild ={0} ist und anschließend 2) zeigen soll, dass V= Kern+ Bild ist .Die Aufgabe befindet sich im Anhang (siehe Foto). Es wär sehr hilfreich, wenn mir jemand weiterhelfen könnte, denn ich will sie verstehen.

Text erkannt:

6. Aufgabe
(8 Punkte)
Es sei \( \mathrm{K} \) ein Körper und \( U, V, W \) drei K-Vektorräume. Weiter seien \( \varphi: U \rightarrow V \) und \( \psi: V \rightarrow W \) zwei lineare Abbildungen. Diese seien so gewählt, dass \( \psi \circ \varphi \) bijektiv ist. Zeigen Sie:
\( V=\operatorname{im} \varphi \oplus \operatorname{ker} \psi \).

Answer 1

Zeige erst mal "Summe" (ohne direkt).

Sei also \( v \in V \). Dann ist \( \psi(v) \in W \).

Da \( \psi \circ \varphi \) :U → W bijektiv ist, gibt es ein u∈U

mit \( (\psi \circ \varphi)(u)= \psi(v) \).

Und es ist \( \psi(v - \varphi(u))  \)  wegen der Linearität

\( =  \psi(v) - \psi(\varphi(u)))=  \psi(v) - (\psi \circ \varphi)(u) =  \psi(v) - \psi(v) \) =0  

Also \( w:= v - \varphi(u) \in \operatorname{ker} \psi \)

und damit ist \( v=   \varphi(u) + w \in \operatorname{im} \varphi + \operatorname{ker} \psi \) \)

Für die "Direktheit" der Summe bleibt zu zeigen \(  \operatorname{im} \varphi \cap \operatorname{ker} \psi = \{ 0 \} \)

Angenommen es gäbe x≠0  mit   \(  x \in \operatorname{im} \varphi \cap \operatorname{ker} \psi \)

==> Es gibt \(  u \in U mit  \varphi (u)=x  \)  und \( \psi (x) = 0 \)

==> \( (\psi \circ \varphi)(u)=0 \)

Also wegen der Bijektivität u=0 und damit auch x=0. Widerspruch!

Comments

Danke für die Erklärung