Kern- Bild- Problem: Lineare Algebra

Question

Sei A∈ℝ^mxn eine Matrix. Dann gilt

ℝⁿ= Kern (A) ⊕ Bild (A^T)

Answer 1

Wenn A die Nullmatrix ist, besteht der Kern aus R^n und

das Bild von A^T aus der 0 alleine, also ist R^n die

direkte Summe der beiden.

Anderenfalls ist Bild (A^T)ist der von den Zeilen von A erzeugte Vektorraum.

Hat also eine Basis mit Vektoren aus R^n  etwa   v1, .... vk mit k≤m

Ist k=n, dann Ist also Bild (A^T) = R^n und Kern A besteht nur aus dem

Nullvektor, also ist wieder die direkte Summe ganz R^n.

Ansonsten ergänze diese zu einer Basis von R^n . 

v₁, .... v_k , v_k+1 ... v_n

und weil die ersten aus Bild (A^T) und die anderen aus Kern(A)

sind, ist R^n wieder die direkte Summe,