Ebenenschar, Punkt angeben

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Ebenenschar \( E_{a}: 3 a x_{1}+2 a x_{2}-5 x_{3}=10 a \); \( a \in \mathbb{R} \).

a) Für welchen Wert von a liegt der Punkt \( P(1|1|3) \) in der Ebene \( E_{a} ? \)

b) Für welchen Wert von a ist die Ebene \( E_{a} \) parallel zur Geraden \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}{8} \\ {5} \\ {5}\end{array}\right) + t \cdot\left(\begin{array}{c}{0} \\ {1} \\ {2}\end{array}\right) ? \)

c) Für welchen Wert von a ist die Gerade \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}{1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}{3} \\ {2} \\ {1}\end{array}\right) \) orthogonal zur Ebene \( E_{a} ? \)

d) Für welchen Wert von a geht die Ebene \( E_{a} \) durch den Ursprung? Um welche besondere Ebene handelt es sich in diesem Fall?

e) Zeigen Sie, dass jede Ebene der Schar die Gerade durch die Punkte R(2|2|0) und S(4|-1|0) enthält.

Answer 1

Hallo

 du weisst hoffentlich dass (3a,2a,-5) ein Normalenvektor der Ebene ist? die andere Ebene ist parallel, wenn sie einen parallelen Normalenvektor hat, du findest ihn über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren

 entsprechend mit dem Richtungsvektor von g

 gibt es a mit r*(3a,2a,-5)=(3,2,1)  also geht es mit a=-5 (r=-1/5)

letztes: erstelle die Gerade, setze sie in die Eben ein.

Gruß lul

Answer 2

Wo liegen denn konkret deine Probleme.

17. a)
3·a·(1) + 2·a·(1) - 5·(3) = 10·a → a = -3

17. b)
[3·a, 2·a, -5]·[0, 1, 2] = 0 → a = 5

17. c)
k·[3·a, 2·a, -5] = [3, 2, 1] → a = -5 ∧ k = -0.2

17. d)
3·a·(0) + 2·a·(0) - 5·(0) = 10·a → a = 0
E0: - 5·z = 0 → Die Ebene ist die xy-Ebene die von der x- und y-Achse aufgespannt wird.

17. e)
3·a·(2) + 2·a·(2) - 5·(0) = 10·a → wahr
3·a·(4) + 2·a·(-1) - 5·(0) = 10·a → wahr
Damit enthält die Ebene die Punkte R und S und somit auch die Gerade durch R und S.

Comments

bei der b) wurde das Skalarprodukt verwendet wieso nicht die Kollinearität?

ich dachte die Rechnung bei der b) und c) müssen andersrum sein

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Beachte das du von der Ebene keinen Richtungsvektor (Spannvektor), sondern den Normalenvektor gegeben hast.

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also wenn es beispielsweise eine Parameterform wär, müsste ich es andersrum berechnen?

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also wenn es beispielsweise eine Parameterform wär, müsste ich es andersrum berechnen?

ja