LA: 3 Bild Kern. ρ : V → V heißt Projektion, wenn ρ^2 := ρ ◦ ρ = ρ . Beh: V = Bild(ρ) ⊕ Kern(ρ).

Question

Sitze gerade an paar Aufgaben. Es lief richtig gut. Das ist die letzte Aufgabe und ich komme gar nicht voran -.-

Einfach zu schwer wisst ihr weiter?

Sei K ein Körper und sei V ein K-Vektorraum. Eine K-lineare Abbildung ρ : V → V heißt Projektion, wenn ρ^2 := ρ ◦ ρ = ρ gilt. Sei ρ eine Projektion.

(a) Zeigen Sie:  Bild(ρ) = {v ∈ V : ρ(v) = v} und V = Bild(ρ) ⊕ Kern(ρ).

(b) Beweisen Sie, dass idV − ρ eine Projektion ist und bestimmen Sie Bild(idV − ρ) sowie
Kern(idV −ρ)

(c) Sei V = U1 ⊕ U2 die direkte Summe der Unterräume U1, U2. Geben Sie eine Projektion

ρ:V →V mitBild(ρ)=U1 und Kern(ρ)=U2 an.

Comments

1. Steht IdV für die Identische Abbildung in V?

und

2. Darf man sich idV als Einheitsmatrix vorstellen?

à-la (E-A)(E-A) = E^2 - AE - EA + A^2 = E - 2A + A = E - A

?qed?

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Das verwirrt mich auch so. Ich weiß noch was idv sein soll

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Ich weiß noch was idv sein soll

?? Also: ?

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Nicht* korrekturfehler

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Eigentlich müsste das ja so sein wie du sagst oder nicht Lu? Ich verstehe nicht wieso das nicht erklärt ist

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Damit scheint's b) wenigstens klappen. Also mit dem neutralen Element der Abbildungsmultiplikation. Du solltest da zur Sicherheit wohl idV und Kreislein schreiben.

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Oki aber weißt du wie ich das beweisen muss das es eine Projektion ist

und wie bestimme ich Bild und kern?

Answer 1

a) Sei x∈Bild(ρ) dann existiert ein y mit ρ(y)=x. Somit ist ρ(x)=ρ²(y)=ρ(y)=x.

Für ein Element v mit ρ(v)=v ist v ein Urbild ist also in der Bildmenge der Projektion.

Jedes v hat die eindeutige(!) Zerlegung v=ρ(v) + (v-ρ(v)) das zeigt die direkte Summe.

 

b) (id_V -ρ)²=id_V²-2ρ+ρ²=id_V -2ρ+ρ=id_V -ρ

Nach a) ist Bild(id_V-ρ)=Kern(ρ) und analog Kern(id_V-ρ)=Bild(ρ)

c) ρ(u₁ ,u₂)=u₁