Aufgabe:
Sei V ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum. Zeigen Sie , dass für eine lineare Abbildung f: V → Vmit f◦f=f die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) f ist symmetrisch, d. h.〈v,f(w)〉=〈f(v),w〉für alle v,w∈V.
(ii) kern f und bild f sind orthogonal.
Problem/Ansatz:
(i) f ist symmetrisch, d. h.〈v,f(w)〉=〈f(v),w〉für alle v,w∈V.
Zu zeigen ist: (Bild f)⊥=Kern f
Sei f symmetrisch, d.h. <v, f(w)> = <f(v),w> für alle v,w ∈V.
"⊇" Sei v ∈Kern f , dann gilt f(v)=0. Ebenso gilt für alle w ∈V : <f(v), w> =0
Nach Voraussetzung (i) folgt: <v, f(w)>=0 für alle w∈V, d. h. v∈ (bild f)⊥
"⊆" Sei v∈ (bild f)⊥. Dann gilt: <v,f(w)>=0 für alle w∈V.
Nach Voraussetzung (i) folgt: < f(v), w>=0 für alle w∈V.
Somit ist f(v)=0, d.h. v∈ Kern f
q.e.d
(ii) kern f und bild f sind orthogonal.
Sei v, w ∈ V Dann gelten folgende Äquvialenzen
<v,f(w)>=f(v),w>⇔<v,f(w)>-<f(v),w>=0
f(v)-v :=f(v)=0
f(v)=f(f(v)
d.h. f(f(v))-f(v)=0 f(v)-v ∈ kern f für alle v∈V <f(v)-v, f(w)>=0 für alle v,w ∈V
d.h. f(f(v)-v) =0
<f(v),f(w)>-<v,f(w)>=0
tatsächlich gilt: <v, f(w)>=f(w),f(v)
=<w,f(v)> = <f(v), w>
q.e.d
Bei dieser Aufgabe hab ich mich besonders schwer getan bei (ii) ich bin mir auch nciht sicher ob das stimmt, über euere Meinung bin ich sehr dankbar und Verbesserungen nehm ich gerne an.
