Sei F: ℝn → ℝn eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind

Question

Aufgabe:

Sei F: ℝⁿ → ℝⁿ eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1) Bild F + Ker F = ℝⁿ , Bild F ∩ Ker F = {0}
2) Bild F = Bild F²
3) Ker F = Ker F²      

wobei F² := F ◦ F.

Answer 1

Fang mal langsam an:

1) ==> 2) etwa so:

Es gelte 1) . Bleibt zu zeigen Bild F = Bild F^2

 Sei w∈ Bild F. ==> ∃z∈ℝ^n f(z)=w

 Gemäß 1)

gibt es u ∈ Bild F und v ∈ Ker F mit z= u+v

 ==>  w= f(z) = f(u+v)= f(u)+f(v) = f(u)+0 = f(u)

Wegen u ∈ Bild F ist also f(u)  ∈ Bild F^2 also w∈ Bild F^2.

Damit ist Bild F ⊆ Bild F^2 gezeigt.

Sei nun w∈ Bild F^2 . ==> ∃z∈ℝ^n f(f(z))=w

Da f(z) auch aus R^n ist, gilt  f(  f(z))  ∈ Bild F,

also ist auch   Bild F ⊇ Bild F^2 gezeigt und damit

die Gleichheit.

Dann geht es weiter mit 2) ==> 3)  und

dann 3) ==> 1) und dann ist Schluss.

Comments

Guten Abend

Ich sitze gerade an der selben Aufgabe und weiss nicht wie man 2 ==> 3 folgert könnte mir da jemand weiterhelfen. :/

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Zeige Ker F ⊆ Kern F^2 .

Formuliere dann die Aussage des Rangsatzes für F und F^2.

Und bedenke, dass aus Ker F ⊆ Kern F^2  bei

gleicher Dimension auch Ker F = Kern F^2  folgt.