Wie kann ich den Kern( f ) und die Basis vom Bild( f ) bestimmen?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine lineare Abbildung von \(f : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}[t]\) durch lineare Fortsetzung von

$$f(e_1) = 2t^2 - t + 1, \quad, f(e_2) = t^3 - 2t, \quad f(e_3) = t^3 - 4t^2 - 2.$$

Problem/Ansatz:

Wie kann ich den Kern(\(f\)) und die Basis vom Bild(\(f\)) bestimmen?

Answer 1

\(2t^2 - t + 1, t^3 - 2t, t^3 - 4t^2 - 2\) erzeugen das Bild,

sind aber lin. abh. also wäre eine Basis des Bildes z.B.

\(2t^2 - t + 1, t^3 - 2t\).

Also ist der Kern 1-dimensional und wegen

\(2 \cdot (2t^2 - t + 1)+1 \cdot ( t^3 - 2t) +1 \cdot ( t^3 - 4t^2 - 2 ) = 0\)

ist \(   \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix}  \) eine Basis des Kerns.

Comments

Danke! Also die Dimension des Kernes ist 1. Was ist mit dem Bild? Ich hab 7 rausbekommen...

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Rangsatz:

dim IR³ = 3 = dim kern f + dim Bild f

Wie kommst du da auf 7?

Die Dimension des Bilds kann man aber auch aus mathefs Antwort herauslesen.

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Bild hat ne Basis mit 2 Elementen, also dim=2.