Löse die folgende Bruchgleichung

Question

Hallo!

Ich soll hier diese Bruchgleichung lösen, aber wie genau soll ich hier vorgehen? Ich hab die Aufgabe mit Photomath verglichen, aber der Rechenweg von dem genannten Programm war viel zu kompliziert. Gibt es da eine andere (leichtere) Variante die Aufgabe zu lösen ohne jetzt da kompliziert zu rechnen?

Aufgabe:

\( x-2-\frac{7}{x+2}=\frac{x+2}{x+3}-\frac{1}{(x+3)(x+2)} \)

Answer 1

Wenn man nach dem Multiplizieren mit dem Hauptnenner nicht alles ausmultipliziert, sondern ein wenig besonnener vorgeht und zudem noch den Definitionsbereich beachtet, ist es eigentlich ganz einfach:

$$\begin{aligned} x\ne -3 &\land x\ne -2\\ x(x+3)(x+2)-2(x+3)(x+2)-7(x+3)&=(x+2)(x+2)-1 \\ \left(x+3\right)\left(x(x+2)-2(x+2)-7\right)&=(x+3)(x+1) \\ \left(x+3\right)\left(x^2-11\right)&=(x+3)(x+1) \\ x^2-11&=x+1 \\ x^2-x-12&=0 \\ (x+3)(x-4) &= 0 \\ x &= 4. \end{aligned}$$

Comments

Sehr schön.                                     .

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Möchte man doch aus irgendwelchen Gründen die Wurzeln des Polynoms $$ x^3+2x^2-15x-36 $$ bestimmen, so geht auch recht einfach: Einsetzen der ganzzahligen Teiler von \(36\) liefert \(x=-3\) und \(x=4\) als Nullstellen. Es muss also noch eine weitere ganzzahlige Nullstelle geben, was hier bedeutet, dass eine der beiden schon bekannten Nullstellen eine doppelte Nullstelle ist. Wir rechnen nach und finden: $$x=-\dfrac{-36}{-3\cdot 4}=-3.$$

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Perfekt, 1000 Dank!

Answer 2

Man kann auch wie folgt vorgehen, indem man zunächst nur einfachste Bruchterme zulässt:

$$\begin{array}{rcl} x-2 -\frac 7{x+2} & = & \frac{x+2}{x+3} - \frac 1{(x+3)(x+2)} \\ & = & \frac{x+3-1}{x+3} - \frac{(x+3)-(x+2)}{(x+3)(x+2)} \\ & = & 1 - \frac 1{x+2}\end{array}$$

Hoppla. Sieht schon viel einfacher aus. Noch alles auf eine Seite bringen:

$$x-\frac 6{x+2} -3= 0$$

Jetzt erst mit \((x+2)\) multiplizieren und zusammenfassen:

$$x^2 -x - 12 = (x-4)(x+3)=0$$

Definitionsbereich der Gleichung anschauen: \(\mathbb R \setminus\{-3,-2\} \Rightarrow \boxed{x=4}\)

Probe machen - passt.

Comments

Danke dir trancelocation!!

Answer 3

\(x-2-\frac{7}{x+2}=\frac{x+2}{x+3}-\frac{1}{(x+3)(x+2)} \)  

Alles mit dem Hauptnenner multiplizieren: \(•(x+3)(x+2) \)

\(x•(x+3)(x+2)-2•(x+3)(x+2)-\frac{7•(x+3)(x+2)}{x+2}=\frac{(x+2)•(x+3)(x+2)}{x+3}-\frac{1•(x+3)(x+2)}{(x+3)(x+2)}\)   

Nun kürzen:

\(x•(x+3)(x+2)-2•(x+3)(x+2)-7•(x+3)=(x+2)•(x+2)-1\) 

Jetzt ausmultiplizieren:

..............

Comments

Wenn ich ausmultipliziere kommt x^3+2x^2-15x-30 = 0

Soll ich vielleicht durch x dividieren?

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Rechne mal nach : Ich komme auf  x^3+2x^2-15x-36 = 0

Soll ich vielleicht durch x dividieren?

Bloß nicht!!

x^3+2x^2-15x-36 = 0

Mit Probieren kommst du auf \(x=4\) als Nullstelle.

Nun weiter mit Polynomdivision:

(x^3+2x^2-15x-36):(x-4)= ....

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Von wo kommt denn hier die 4?

Und man soll das ohne Polynomdivision lösen, der Prof. meinte, dass er keine Polynomdivision Aufgaben bringt.

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Die 4 findest du mit Probieren (4 ist Teiler von 36)

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Aber funktioniert die Rechnung nicht ohne Polynomdivision?

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Aber funktioniert die Rechnung nicht ohne Polynomdivision?

Ich habe es mal in Wolfram eingegeben. Bei der Markierung kommt eine faktorisierte Form heraus.

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-3 ist keine Lösung der Originalgleichung.

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Bei der Aufgabe müssen wohl Spezialisten ran:

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-3 ist keine Lösung der Originalgleichung.

Das merkt WA natürlich auch, wenn man die Originalgleichung (für x=-3 nicht definiert!) eingibt:

anklicken

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Jetzt ist wirklich noch ein ausführlicher Lösungsweg notwendig.

Answer 4

Hauptnenner auf beiden Seietn bilden und Zähler gleichsetzen

Answer 5

\(x-2-\frac{7}{x+2}=\frac{x+2}{x+3}-\frac{1}{(x+3)(x+2)} \)

\(x-2-\frac{7}{x+2}=\frac{(x+2)^2}{(x+3)(x+2)}-\frac{1}{(x+3)(x+2)} \)

\(x-2-\frac{7}{x+2}=\frac{x^2+4x+3}{(x+3)(x+2)} \)

\(x-2-\frac{7}{x+2}=\frac{x^2+x+3x+3}{(x+3)(x+2)} \)

\(x-2-\frac{7}{x+2}=\frac{x(x+1)+3(x+1)}{(x+3)(x+2)} \)

\(x-2-\frac{7}{x+2}=\frac{(x+3)(x+1)}{(x+3)(x+2)} \)

\(x-2-\frac{7}{x+2}=\frac{x+1}{x+2} \text{~~~~für~ }x\neq-3\)

\(x^2-4-7=x+1\)

\(x^2-x-12=0\)

\(x_{12}=0,5\pm\sqrt{12,25}\)

\(x_1=0,5-3,5=-3 \Rightarrow \text{keine Lösung}\)

\(x_2=0,5+3,5=4\)

\(\mathbb L=\{4\}\)

Comments

Vielen Dank für den Rechenweg, ich rechne das mal so nach als Übung  :)