Eine Basis von Bild(β) bestimmen und den rang(β) berechnen.

Question

Aufgabe:Bestimmen sie eine Basis von Bild(β) und berechnen sie den rang(β).

β: \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) → B\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)

B:= \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 &1 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Wenn ich die Matrix mit Gaus löse bekomme, ich rang(β)=2 raus und die gelöste Matrix wäre \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Meine Frage wäre dabei, da ich eine Basis von Bild(β) finden soll, ich theoretisch auch von der gelösten Matrix die 1 und 2 Spalte nehmen kann, da diese in Zeilenstufenform sind als Basis des Bildes? Oder ist das so nicht möglich.

Comments

Ermanus hat schon ausgeführt, dass Du das so nicht machen kannst. Aber Du hast Dich außerdem auch verrechnet.

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Du meinst bei der Zeilenumformung, die dritte Spalte müsste (1,1,0)^T sein. Liege ich da richtig?

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Richtig. Und dann kannst Du auch das Ergebnis von Ermanus ablesen: Du hast das homogene Gleichungssystem \(s_1b_1+s_2b_2+s_3b_3=0\) bearbeitet. Ergebnis:

1. Es gibt nichttriviale Lösungen, d.h. die drei Vektoren sind linear abhängig.

2. Man kann \(s_3=-1\) setzen und es folgt \(s_1=s_2=1\) also \(b_3=b_1+b_2\)

Answer 1

Nein. So kannst du das nicht machen.

Das Bild(\(\beta\)) wird erzeugt von den Spaltenvektoren

von \(B\). Du suchst also eine Basis von

Span(\((1,0,0)^T,(2,1,2)^T,(3,1,2)^T\)).

Die Summe der beiden ersten gibt den dritten Vektor,

also ist Bild(\(\beta\))=Span(\((1,0,0)^T,(2,1,2)^T\)).

Da die beiden Erzeuger linear unabhängig sind,

bilden sie eine Basis von Bild(\(\beta\)).