Kern und Rang bestimmen, Basis von Kern und Bild

Question

A := \( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ -2 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \)  ∈M(4x4; ℝ)

a) Bestimmen Sie den Kern und Rang von A

b) Bestimmen Sie jeweils eine Basis von ker(A) und Im(A) und geben Sie die Dimension dieser beiden Unterräume an.

Comments

Zur Kontrolle:

a)

Rang(A)=3

Kern(A)={(x,x,0,0) : x∈ℝ}

b)

Basis vom Kern ist z. B. (1,1,0,0)

Answer 1

Aloha :)

Schreibe neben die Matrix \(A\) eine quadratische Einheitsmatrix mit so vielen Spalten wie \(A\) hat. Bringe die Spalten von \(A\) auf Stufenform und wiederhole alle dazu nötigen Schritte an der nebenstehenden Matrix:

$$\left(\begin{array}{r}& +S_1 & -S_1 &\\\hline 1 & -1 & 1 & 0\\1 & -1 & 0 & -1\\0 & 0 & -1 & -1\\-2 & 2 & 1 & 0\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r}& +S_1 & -S_1 &\\\hline 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}+S_3 & & -S_4 &\cdot(-1)\\\hline 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & -1 & -1\\0 & 0 & -1 & -1\\-2 & 0 & 3 & 0\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r}+S_3 & & -S_4 &\cdot(-1)\\\hline 1 & 1 & -1 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}-\frac{1}{3}S_3 & & :3 &\\\hline 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\-1 & 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 3 & 0\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r}-\frac{1}{3}S_3 & & :3 &\\\hline 0 & 1 & -1 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1 & -1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}\vec b_1 & & \vec b_2 & \vec b_3\\\hline 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\-1 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r} & \vec k_1 & &\\\hline \frac{1}{3} & 1 & -\frac{1}{3} & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\\frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{3} & 0\\\frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3} & -1\end{array}\right)$$Wir finden 3 Basisvektoren des Bildes \(\vec b_1,\vec b_2, \vec b_3\) und einen Basisvektor des Kerns \(\vec k_1\). Die Dimension des Bildes ist daher \(3\) und die des Kerns ist \(1\).