Bestimmen Sie den Rang, den Kern und das Bild der Matrix A .

Question

Aufgabe:

Wir betrachten folgende Matrix in Stufenform
\( A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)

(a) Bestimmen Sie den Rang, den Kern und das Bild der Matrix \( A \).

(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume mit geometrischen Vielfachheiten von \( A \).
(c) Bestimmen Sie die Lösungsmenge von \( A \mathbf{x}=\mathbf{b}^{j}, j=1,2 \), für

\( \mathbf{b}^{1}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 4 \\ 1\end{array}\right) \quad \mathbf{b}^{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 4 \\ 0\end{array}\right) \)

Hey ihr Lieben! Wieder ist es die letzte Aufgabe, die mir fehlt und es wäre meega schön, wenn einer mir bei der Aufgabe helfen könnte:)

Answer 1

Bestimmen Sie die Lösungsmenge von \( A \mathbf{x}=\mathbf{b}^{j}, j=1,2 \), für\( \mathbf{b}^{1}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 4 \\ 1\end{array}\right) \quad \mathbf{b}^{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 4 \\ 0\end{array}\right) \)

mit \(A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \) gibt das für Anwendung von Gauss:

1.  \(\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0&0\\ 0 & 2 & 0 & 1 &2\\ 0 & 0 & 1 & -1 &4\\ 0 & 0 & 0 & 0&1\end{array}\right) \)

also (letzte Zeile !)  keine Lösung.

2. \(\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0&1\\ 0 & 2 & 0 & 1 &2\\ 0 & 0 & 1 & -1 &4\\ 0 & 0 & 0 & 0&0\end{array}\right) \)

also x₄ beliebig, etwa x₄=t

==>  \( x_3=4+t     \) und   \( x_2=1 - \frac{t}{2}    \)  und \( x_1= -3-t  \)