Es seien \( N_{\nu}=\left[\begin{array}{ccccc}0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{\nu \times \nu} \) und \( N=\left[\begin{array}{ccc}N_{n_{1}} & & \\ & \ddots & \\ & & N_{n_{m}}\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{n \times n} \) für \( n_{1} \leq \ldots \leq n_{m} \in \mathbb{N}, n=n_{1}+\ldots+n_{m} \).
(a) Berechnen Sie \( N_{\nu}^{k} \) für beliebige \( \nu, k \in \mathbb{N} \). Geben Sie jeweils Rang, Bild und Kern von \( N_{\nu}^{k} \) an.
(b) Bestimmen Sie den Rang von \( N^{k} \) in Abhängigkeit von \( n_{1}, \ldots, n_{m} \).
(c) Es seien \( d_{k}:=\operatorname{dim} \operatorname{ker}\left(N^{k}\right) \) für \( k \in \mathbb{N} \). Bestimmen Sie \( m \) und \( n_{1}, \ldots, n_{m} \) aus \( d_{1}=16, d_{2}=28, d_{3}=38, d_{4}=48, d_{5}=53, d_{6}=57, d_{7}=58, d_{8}=58 \)
