Es seien \( U \subset \mathbb{R}^{n} \) offen und \( f: U \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) stetig differenzierbar.
(a) Voraussetzung ( \( \star) \) : Für eine kompakte und konvexe Teilmenge \( K \) von \( U \) gelte \( f(K) \subset K \) und \( \|D f(x)\|<1 \) für alle \( x \in K \), wobei \( \|\cdot\| \) eine durch eine beliebige Vektornorm induzierte Norm in \( \mathbb{R}^{n \times n} \) ist.
Zeigen Sie, dass \( f \) genau einen Fixpunkt \( x_{*} \in K \) hat, und dass die Folge \( x_{k+1}=f\left(x_{k}\right) \) für beliebige \( x_{0} \in K \) gegen \( x_{*} \) konvergiert.
(b) Es sei \( x_{*} \in U \) mit \( f\left(x_{*}\right)=x_{*} \) und \( \left\|D f\left(x_{*}\right)\right\|<1 \). Zeigen Sie, dass es ein \( \epsilon>0 \) gibt, so dass \( K=\overline{K_{e}\left(x_{*}\right)} \) die Voraussetzung ( \( \left.\star\right) \) aus (a) erfüllt.
