Fixpunkt im Funktionenraum berechnen

Question

Wenn ich für die Fixpunktberechnung f* = I(f*) setze, komme ich auf keine Idee, wie ich nach reinem f* auflöse, also f* = Term der von g abhängt und in dem kein f* vorkommt.

Das sieht ein bisschen nach einer Differenzialgleichung aus, aber Stammfunktion von f* ausgewertet bei festen Punkten 0.5 und 0 anstatt bei x, also nicht wirklich.

Comments

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Wenn ich beim richtigen Beitrag war, war das nur der Beweis, der ist aber einfach, bei der Berechnung komme ich hingegen nicht weiter.

Answer 1

Man kann

1. die Fixpunktiteration für einige Schritte aufschreiben und per Induktion den Grenzwert bestimmen.

2. die Gleichung direkt lösen:

$$f(x)=g(x)+sx \text{  mit:}$$

$$s=\int_0^{0.5}f(t)dt=\int_0^{0.5}(g(t)+st)dt=\int_0^{0.5}g(t)dt+0.125s$$

Also

$$f(x)=g(x)+\frac{1}{0.875}\int_0^{0.5}g(t)dt x$$