Zeigen Sie, dass f(x) einen Fixpunkt besitzt. f(x) = x sin(x) - √(x) + 3 im Intervall [0,π]

Question

Zeigen Sie, dass \( f(x)=x \sin (x)-\sqrt{x}+3 \) im Intervall \( [0, \pi] \) mindestens einen Fixpunkt besizt, d.h. ein \( x \in[0, \pi] \) existiert mit \( f(x)=x \).

Hinweis: Versuchen Sie nicht, den Fixpunkt auszurechnen.

Comments

Versuch mit dem Banachschen Fixpunktsatz zu arbeiten. Nimm ein (kompaktes!) Teilintervall von \([0,\pi]\), in dem du den Fixpunkt vermutest und zeige, dass die Funktion eingeschränkt auf das Intervall eine Kontraktion ist.

Answer 1

definiere die Funktion \(g\) durch \(g(x)=f(x)-x\). Dann ist \(g(0)=3>0\) und \(g(\pi)=-\sqrt{\pi}+3-\pi<0\). Nach dem Zwischenwertsatz existiert ein \(c\in(0,\pi)\) mit \(g(c)=0\). Daraus folgt \(f(c)=c\).