Sei f : [0,1] → [0,1] stetig. Beweisen Sie, dass es einen Fixpunkt gibt

Question

Sei f : [0,1] → [0,1] stetig. Zeige: Beweisen Sie, dass es einen Fixpunkt gibt, d.h. es gibt  x* ∈ [0,1] sodass f(x*) = x*.

Comments

Schau mal hier: https://www.mathelounge.de/82339/sei-f-0-1-→-0-1-stetig-zeige-es-gibt-ein-a-∈-0-1-gibt-mit-f-a-a

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Vom Duplikat:

Titel: Stetige Funktion f mit ....Zeige, dass es einen Fixpunkt von f gibt

Stichworte: fixpunkt,funktion,stetig,intervall

Sei f : [a,b] -> [a,b] eine stetige Funktion.
Zeigen Sie, dass f einen sogenannten Fixpunkt hat, d.h. dass es ein x_* ∈ [a,b] gibt mit f(x_*)=x_*.

Als Hinweis hab ich bekommen, dass ich die Funktion g(x) = f(x) -x anschauen soll.

Der Hinweis sagt mir leider gar nichts. Im Skript hab ich nichts dazu gefunden.... und komm absolut nicht weiter mit der Aufgabe, auch wenn ich weiß, dass diese eher trivial ist .... :(((

Ich brauche eure Hilfe, bitte.

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Hier ist doch den Name des Satzes angegeben, den du benutzen kannst:

https://www.mathelounge.de/181669/zeigen-dass-f-einen-fixpunkt-besitzt 

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen, dass f min einen Fixpunkt besitzt

Stichworte: fixpunkt,stetig,intervall,funktion

Seien a,b ∈ R mit a ≤ b. Die Funktion f : [a,b] → [a,b] sei stetig auf [a,b]. Zeigen Sie, dass f mindestens einen Fixpunkt besitzt, d.h. es existiert x0 ∈ [a,b] mit f(x0) = x0. 

Answer 1

Betrachte  g(x) =   f(x) - x  , das ist auch stetig auf [ a,b] mit g(0)= f(0)  und  g(1) = f(1) - 1

und weil  f(0) und f(1) aus [0;1] sind, ist g(0) ≥ 0 und g(1) ≤ 0

also gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein c aus [a;b] mit g(c) = 0

also f(c) - c = 0  also  f(c) = c  .   Dann ist c der ges. Fixpunkt von f.

Answer 2

Hallo GC,

Hier kannst du dir das in einem Video ansehen:

Bei dir ist  f([a,b]) = [a,b]    also auch  f([a,b]) ⊂  [a,b] 

Gruß Wolfgang