Sei f: [0,1] → [0,1] stetig. Zeigen Sie, dass f einen Fixpunkt hat. Folge mit x_(n):=f(x_(n-1)) konvergiert, wenn …

Question

Aufgabe:

Sei \( f:[0,1] \rightarrow[0,1] \) stetig.

a) Zeigen Sie, dass \( f \) einen Fixpunkt hat, d.h. dass ein \( x \in[0,1] \) existiert mit \( f(x)=x \)

b) Sei \( x_{0} \in[0,1] \) beliebig und die Folge \( \left(x_{n}\right)_{n} \) definiert durch \( x_{n}=f\left(x_{n=1}\right) \) für alle \( n \in \mathbb{N} \). Zeigen Sie, dass \( \left(x_{n}\right)_{n} \) gegen einen Fixpunkt von \( f \) konvergiert, wenn \( f \) monoton wachsend ist.

Comments

Welche Sätze in zu diesem Gebiet kennt ihr denn GENAU?

Zwischenwertsatz für stetige Funktionen oder sonst noch was?

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also a) habe ich hinbekommen

was muss ich in b) überhaupt machen?

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Wenn die Folge konvergiert, ist automatisch klar, dass der Grenzwert ein Fixpunkt sein muss, denn x_(n) und x_(n-1) müssen 'gleich' werden. Also  unmathematisch für riesige n dann so:  x_(n) = f(x_(n)).

Mit der Monotonie und der Beschränktheit von f solltest du nun irgendetwas basteln, das sagt, dass die Folge konvergieren muss.

Answer 1

Hi,
zu (a)
Wenn \( f(1) < 1 \) und \( f(0) > 0 \) gilt, kann man den Zwischenwertsatz auf die Funktion \( g(x) = f(x) - x \) anwenden, der besagt, dass es einen Wert \( \xi \) gibt, mit \( g(\xi) = f(\xi) - \xi = 0 \). Also hat man die Existenz eines Fixpunktes nachgewiesen.

Gilt nun \( f(1) = 1 \) oder \( f(0) = 0 \) hat man ebenfalls einen Fixpunkt gefunden.

Zu (c)
Für einen beliebigen Wert \( x_0\) gilt \( x_1 = f(x_0) \) nach Definition der Folge. Wenn \( x_1 = x_0 \) gilt, hat man schon einen Fixpunkt gefunden. Also sei o.B.d.A \( x_1 > x_0 \)
Dann gilt auch \( x_2 = f(x_1) \ge f(x_0) = x_1 \) und daraus folgt auch \( x_3 \ge x_2 \)
Also gilt im Allgemeinen \( x_{n+1} \ge x_n \)
D.h. die Folge ist monoton wachsend. Da sie auch beschränkt ist, konvergiert die Folge \( x_n = f(x_{n-1}) \) gegen einen Fixpunkt.
Genauso kann man vorgehen, wenn \( x_1 < x_0 \) gilt. Dann hat man eine monoton fallende und beschränkte Folge die ebenfalls konvergiert.
Damit ist die Konvergenz der Folge \( x_n = f(x_{n-1}) \) gegen einen Fixpunkt bewiesen.