Zeigen Sie, dass g genau einen Fixpunkt hat.

Question

Aufgabe:

Es sei \( g:[\alpha, \beta] \longrightarrow[\alpha, \beta] \) eine lipschitzstetige Funktion mit Lipschitzkonstante \( L<1 \).
Zeigen Sie, dass \( g \) genau einen Fixpunkt hat. Zeigen Sie außerdem, dass die Folge \( \left(x_{n}\right) \) mit \( x_{0} \in[\alpha, \beta] \) beliebig und \( x_{n+1}:=g\left(x_{n}\right) \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) gegen den Fixpunkt konvergiert.

Wäre lieb wenn mir jemand helfen könnte.

Answer 1

Zur Eindeutigkeit des Fixpunktes:

Angenommen es gäbe zwei verschiedene Fixpunkte \(x_0\) und \(y_0\),

also \(g(x_0)=x_0\) und \(g(y_0)=y_0\).

Dann liefert die Lipschitzbedingung mit \(L<1\):

\(|x_0-y_0|=|g(x_0)-g(y_0)|< |x_0-y_0|\),

was nicht möglich ist.

Comments

Danke für die Hilfe jedoch weiß ich nicht, wie ich zeigen kann, dass das nicht möglich ist und was ist gemeint mit  xn +1 ?

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jedoch weiß ich nicht, wie ich zeigen kann, dass das nicht möglich ist

Das ist doch selbstverständlich, dass für jede reelle Zahl a die

Ungleichung a < a unmöglich ist.

was ist gemeint mit xn +1 ?

Das steht doch in der Aufgabe:

\(x_{n+1}\) ist definiert als \(g(x_n)\).

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Ach stimmt hab falsch gedacht Dankeschön. Wie soll ich denn zeigen dass xn+1 gegen den fix. Punkt konvergiert?