Zeigen Sie, dass f einen Fixpunkt hat

Question

Aufgabe:

Sei f : [a, b] → [a, b] stetig. Zeigen Sie, dass f einen Fixpunkt hat, d.h. es gibt ein x0 ∈ [a, b]
mit f(x0) = x0.
Hinweis: Betrachten Sie die Funktion g(x) := f(x) − x. Begründen Sie zunächst, warum mit f
auch g stetig ist.

Problem/Ansatz:

g(x) ist stetig, da f(x) nach Vor. stetig ist, "-x" ist auch stetig. Außerdem gilt nach Voraussetzung (ab hier bin ich mir unsicher), dass f(a) >= a, f(b) <= b,

bzw. g(a) >= a, g(b) <= b. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein x0  aus [a, b] mit g(x0)=0, also f(x0) = x0, also gibt es einen Fixpunkt. Nur war ich mir nicht sicher, ob es stimmt bzw. ob die Begründung ausreicht.

Answer 1

dass f(a) >= a, f(b) <= b, Das gilt wegen f : [a, b] → [a, b]

also alle Funktionswerte liegen in [a, b]

ABER   bzw. g(a) >= a, g(b) <= b. stimmt nicht

         f(a) >= a

==>   f(a) - a >=  0

==>          g(a)  >=  0

entsprechend  g(b) ≤ 0.

Und daraus folgt mit dem Zwi. dann das mit dem g(xo)=0.

Answer 2

Es gilt $$ g(a) = f(a)-a \ge a-a=0 $$ und $$ g(b) = f(b)-b \le b-b=0 $$ Mit dem ZW folgt, es gibt ein \( x_0 \) mit \(g(x_0) = 0 \), also $$  f(x_0) = x_0 $$