Aufgabe:
Sei \( X \) ein vollständiger metrischer Raum. Sei \( \phi: X \rightarrow X \) eine Abbildung. Sei \( n \gt 0 \) eine positive natürliche Zahl. Sei \( F:=\underbrace{\phi \circ \cdots \phi}_{n-\text { mal }} \) die \( n \) -fache Iteration von \( \phi \).
Zeige: Ist \( F \) eine Kontraktion, das heißt \( \exists q \in[0,1) . \forall x, y \in X . d(F(x), F(y)) \) \( \leq q d(x, y) \) so hat \( \phi \) einen eindeutigen Fixpunkt, das heißt \( \exists x^{*} \in X \).
\( \left(x^{*}\right)=x^{*} \)
Kann mich einer zur Lösung bringen? Verstehe nicht ganz wie ich das ganze mit der Iteration umsetze. Der Banachscher Fixpunktsatz ist bewiesen.
