Banachscher Fixpunktsatz: Zeige, dass g surjektiv ist

Question

Aufgabe:

Sei f : R → R eine q-Kontraktion.

Zeige mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes, dass dann die folgende Funktion surjektiv ist:

g : R²→ R², (x_1,x₂)^T → (x₁ + f(x₂),x₂ + f(x₁))^T

Problem/Ansatz:

Mir fehlt hier leider jeglicher Ansatz und ich weiß leider auch nicht so ganz was mir der Fixpunktsatz bringen soll :(
Der sagt doch nur, dass f einen Fixpunkt hat, aber was bringt mir das für die Surjektivität?

Comments

Hier stand nichts sinnvolles.

Answer 1

Hallo,

ich gehe mal davon aus, dass \(\mathbb{R}\) mit der üblichen Betragsmetrik versehen ist.

Sei \(y = (y_1,y_2)\in\mathbb{R}^2 \) und setze \(h :  \mathbb{R}\to\mathbb{R},\, z \mapsto y_1 - f(y_2 - f(z)) \).

\(\Rightarrow \forall z,w\in\mathbb{R}:   |h(z)-h(w)| = |y_1 - f(y_2 - f(z)) - y_1 + f(y_2 - f(w))| = |f(y_2 - f(w)) - f(y_2 - f(z))| \leq q \cdot |f(z)-f(w)| \leq \underbrace{q^2}_{\in[0,1)} \cdot |z-w|\), mithin ist \(h\) auch eine strikte  Kontraktion.

\(\Rightarrow \exists x_1\in\mathbb{R}  :  h(x_1) = y_1 - f(y_2 - f(x_1) = x_1\). Setze \( x_2 := y_2 - f(x_1)\). Dann gilt:

\( g(x_1,x_2) = (x_1 + f(x_2),  x_2 + f(x_1)) = (h(x_1)+f(y_2 - f(x_1)),y_2 - f(x_1) + f(x_1)) = (y_1,y_2) \)

Damit ist \(g\) surjektiv.