Zeige mit dem Zwischenwertsatz, dass ein c∈[a,b] mit f(c)=g(c) existiert und…

Question

Hallöchen,
ich komme leider mit der Aufgabe nicht weiter, kann mir da vielleicht einer helfen?

a) Zeigen Sie mithilfe des Zwischenwertsatzes: Sind f und g zwei stetige Funktionen auf einem abgeschlossenem Intervall [a,b]⊂ℝ und gilt f(a)≤g(a) sowie f(b)≥g(b), dann existiert ein c∈[a,b] mit f(c)=g(c).

b) Beweisen Sie, dass für jedes n∈ℕ, n>0 und jedes t∈[1,2] die Gleichung

$$\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=t$$

eine Lösung x∈[0,1] besitzt.

Danke und einen schönen Abend wünsche ich.

Answer 1

a) Zeigen Sie mithilfe des Zwischenwertsatzes: Sind f und g zwei stetige Funktionen auf einem abgeschlossenem Intervall [a,b]⊂ℝ und gilt f(a)≤g(a) sowie f(b)≥g(b), dann existiert ein c∈[a,b] mit f(c)=g(c).

Beweis:

Sei die Differenz d(x) = f(x) - g(x)

d(a) = f(a) - g(a) ≤ 0

d(b) = f(b) - g(b) ≥ 0

Falls eine der beiden Ungleichungen eine Gleichung. c=a oder b. qed.

Sonst: d(a) < 0 und d(b) >0. Gemäss Zwischenwertsatz für stetige Funktionen existiert ein c in [a,b] mit d(c) = 0.

d(c) = 0 = f(c) - g(c) . Also: f(c) = g(c). qed.

b) kann vielleicht jemand anders beantworten.