Stetige Funktion: Es existiert ein x₀ ∈ [−1, 1] mit f(x₀) = x₀. Zwischenwertsatz?

Question

Aufgabe: (3 Punkte)

Sei  f : [−1, 1] → [−1, 1] eine stetige Funktion.
Zeigen Sie: Es existiert ein x₀ ∈ [−1, 1] mit f(x₀) = x₀.

Problem/Ansatz:

Ich habe gar keinen Plan wie ich das Beweisen soll. Ich kann mir das zwar vorstellen dass egal welche Funktion ich habe, an irgendeinem x, der Funktionswert gleich dem x ist. Hat das vielleicht was mit dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen zu tun? Könnt ich den zum Beweis benutzen?

Answer 1

Wenn \(f(x)=x\) ist, sind wir fertig. Nehmen wir also an, dies ist nicht der Fall.

Du kannst ja zum Beispiel die Funktion

\( g\colon [-1, 1]\to [-2, 2]\quad g(x)=f(x)-x \)

betrachten. Diese ist stetig, da sie die Summe zweier stetiger Funktionen ist, und somit kannst du den Zwischenwertsatz anwenden. Insbesondere gibt es ein \(x_0 \in [-1, 1]\) sodass \(\begin{aligned} g(x_0)=0 \iff f(x_0)-x_0=0 \iff f(x_0)=x_0\end{aligned} \)  gilt.

Du musst jetzt nur noch zeigen, dass der Zwischenwertsatz auch auf ein Interval, welches Null enthält, anwendbar ist.