Stetige Funktion, Zwischenwertsatz

Question

Aufgabe:

Sei f : [a, b] → R eine stetige Funktion und seien p, q > 0. Zeigen Sie, dass ein c ∈ [a, b] existiert, so dass pf(a) + qf(b) = (p + q)f(c).

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider gar nicht wie ich das lösen kann. Als Idee hätte ich nach f(c) aufzulösen und irgendwie zu gucken wie ich den Zwischenwertsatz anwenden könnte, aber selbst das bekomme ich momentan nicht hin.

Answer 1

Hallo,

betrachte:

$$h:[a,b] \to \mathbb{R}, h(x):=pf(a)+qf(b)-(p+q)f(x)$$

Bestimme \(h(a)\) und \(h(b)\) und stelle fest, dass diese unterschiedliche Vorzeichen haben - der Fall, dass beide gleich 0 sind, ist evtl gesondert zu betrachten. Was sagt da der Zwischenwertsatz?

Gruß

Comments

Vielen Dank für den Ansatz.

Für h(a) erhalte ich: qf(b) - qf(a) und für h(b) erhalte ich: pf(a) - pf(b).

bei h(a) ist -qf(a) < 0 und qf(b) > 0, da p,q > 0 sind. -> -qf(a) < qf(b)

bei h(b) ist -pf(b) < 0 und pf(a) > 0. -> -pf(b) < pf(a)

Kann ich jetzt daraus schließen, dass bei h(a) -qf(a) das Minimum ist und qf(b) das Maximum ist (für h(b) dann analog) und daraus folgern, dass es laut dem ZWS zu jedem y Element der Menge [-qf(a), qf(b)] mindestens ein x (in unserem Fall c) Element [a,b] geben muss, sodass f(x) = y ist?

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Hallo,

nein, es steht doch nirgendwo, dass f(a)<0 ist??

Das Argument ist einfach nur: Wenn \(h(a)=q(f(b)-f(a))>0\) ist, dann ist \(h(b)=p(f(a)-f(b))<0\). Oder umgekehrt. Auf jeden Fall haben h(a) und h(b) entgegengesetzte Vorzeichen.

Gruß