b) beruht in der Tat wesentlich auf dem Zwischenwertsatz, etwa so:
Sei f : [a, b] → R stetig und injektiv.
injektiv ==> f(a) ≠ f(b). Angenommen f(a) < f(b).
Dann könnte ja f allenfalls monoton wachsend sein.
Das führen wir zum Widerspruch.
[ f(a) > f(b).´und monoton fallend entsprechend.]
Wenn f nicht streng streng monoton wachsend ist , gibt es
u<v beide aus [a,b] mit f(u) ≥ f(v) .
Wenn in der Ungleichungen das "gleich" gilt,
ist das schon ein Widerspruch zu "injektiv".
Also haben wir: Es gibt u<v beide aus [a,b] mit f(u) > f(v).
1. Fall: u=a und v=b . Das kann nicht sein wegen
f(a) < f(b) und f(u) > f(v).
2. Fall u=a und v < b. Und es gilt:
f(a) < f(b) und f(u) > f(v)
=> f(a) < f(b) und f(a) > f(v).
Also ist von den drei verschiedenen Zahlen
f(b) und f(a) und f(v) die kleinste das f(v).
Somit liegt etwa die Mitte zwischen f(a) und f(v)
also y = (f(a)+f(v))/2 sowohl zwischen f(v) und f(a)
also auch zwischen f(v) und f(b).
Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also s zwischen
a und v und es gibt t zwischen v und b mit
f(s)=y und f(t)=y . Widerspruch zu "injektiv".
3. Fall : a < u und v < b. Und es gilt:
f(a) < f(b) und f(u) > f(v)
Da muss man wohl noch zwischen f(u)<f(a) und f(u)>f(a)
unterscheiden und kann aber in jedem Fall so wie
oben einen Widerspruch zu "injektiv" konstruieren.
