Stetige Funktion. Zeige: existiert c∈(a,b) mit (f(a)-f(c))(f(b)-f(c))>0, dann ist f nicht injektiv.

Question

Ich habe es leider noch nicht so mit Stetigkeit und bekomme meine Aufgabe irgendwie nicht hin.

 

Zeigen Sie: Ist f:[a,b]→ℝ stetig und existiert c∈(a,b) mit (f(a)-f(c))(f(b)-f(c))>0, dann ist f nicht injektiv.

Zeigen Sie, dass eine stetige Funktion f:[a,b]→ℝ genau dann injektiv ist, wenn sie streng monoton ist.

 

Wäre sehr nett, wenn mir da jemand helfen könnte.

Danke.

Answer 1

Hier mal ein Vorschlag zum ersten Teil:

Zeigen Sie: Ist f:[a,b]→ℝ stetig und existiert c∈(a,b) mit (f(a)-f(c))(f(b)-f(c))>0, dann ist f nicht injektiv.

(f(a)-f(c))(f(b)-f(c))>0

Man kann hier 2 Nenner (a-c) und (b-c) einfügen,

Da c zwischen a und b liegt, ist (a-c) < 0 und (b-c) > 0. Daher ändert sich das Ungleichheitszeichen.

Also: 

(f(a)-f(c)) / (a-c)  * (f(b)-f(c)) / (b-c) <0

(f(a)-f(c)) / (a-c)   ist die mittlere Steigung zwischen a und c

 (f(b)-f(c)) / (b-c)  die mittlere Steigung zwischen c und b

Da das Produkt negativ ist, sind die beiden verschieden.

Sobald aber eine stetige Funktion in einem geschlossenen Intervall einmal fällt und dann wieder steigt oder umgekehrt, werden gewisse Funktionswerte mindestens 2 Mal angenommen. Die Funktion ist deshalb nicht injektiv.