in Intervall (a,b) stetige und injektive Funktion f: (a;b) -> R streng monoton wachsend (fallend)

Question

ich soll den Beweis zu der folgenden Aussage machen und wollte fragen ob da noch etwas fehlt bei dem was ich bisher habe.

Aufgabe:
Weisen Sie nach: Jede auf einem Intervall \( (a ; b) \) stetige injektive Funktion \( f:(a ; b) \rightarrow R \) ist auf \( (a ; b) \) streng monoton wachsend oder streng monoton fallend.

Beweis:
Annahme: f: (a,b) -> ist nicht streng monoton wachsend (fallend).

Wenn x1<x2<x3 3 Zahlen sind, dann muss bei keiner strengen Monotonie entweder $$f(x1)<f(x2)\quad und\quad f(x2)>f(x3)\quad (bzw\quad f(x1)>f(x2)\quad und\quad f(x2)<f(x3)\quad )$$ gelten. Laut Zwischenwertsatz muss es einen Funktionswert c mit $$f(x2)<f(x1)undf(x2)<c<f(x3)\quad (bzw.\quad f(x2)>c>f(x1)undf(x2)>c>f(x3)$$ geben. Nämlich einmal im Intervall (x1,x2) und einmal im Intervall (x2,x3).
Wdspr. zur Injektivität
-> f: (a,b) ist streng monoton wachsend(fallend)


Und jetzt nochmal meine Frage, fehlt da noch etwas oder müsste das ausreichen um die Aussage zu beweisen?

Lipsen

Comments

Jede auf einem Intervall (a; b) stetige und injektive Funktion f : (a; b) → ℝ ist auf (a; b) streng monoton wachsend oder streng monoton fallend.

Diese Aussage soll ich beweisen.

Wäre um jede Hilfe dankbar!

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Schau mal hier: https://www.mathelounge.de/306760/stetige-funktion-zeige-injektiv-aquivalent-streng-monoton

Answer 1

. Laut Zwischenwertsatz muss es einen Funktionswert c mit

würde ich eher so formulieren:

dann gibt (z.B. im Falle von nicht streng wachsend) ein c < f(x2) mit

f(x1) < c < f(x2)  und   f(x2)> c > f(x3)

etwa c = f(x2) - 0,5*min( { f(x2)-f(x1) ; f(x2) - f(x3) } )

und wegen des Zwischenwertsatzes gibt es ein x aus (x1;x2) ...

wie du argumentiert hast.

Comments

müsste nicht statt < und > eigentlich ≤ und ≥ stehen,
wegen der Negation von streng mon. wachsend.  ???
Und dann noch so ein Argument wie:
gleich kann nicht sein, wegen Injektivität.

Answer 2

sei \( f \) weder streng monoton wachsend noch streng monoton fallend. Dann gibt es \( x_1, x_2, x_3, x_4 \in (a, b) \) mit \( x_1 < x_2 \) und \( f(x_1) \leq f(x_2) \) sowie \( x_3 < x_4 \) und \( f(x_3) \geq f(x_4) \).

Ist \( f \) auf \( (a, b) \) stetig, nimmt diese Funktion jeden Wert zwischen \( f(a) \) und \( f(b) \) an. Sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit \( f(a) \leq f(b) \).

Insbesondere nimmt \( f \) auf \( (a, x_3) \) jeden Wert zwischen \( f(a) \) und \( f(x_3) \) und auf \( (x_4, b) \) jeden Wert zwischen \( f(x_4) \) und \( f(b) \) an. Wegen \( f(x_3) \geq f(x_4) \) gibt es \( l \in (a, x_3) \) und \( r \in (x_4, b) \), sodass \( f(x_3) \geq f(l) = f(r) \geq f(x_4) \).

Dies impliziert, dass \( f \) nicht injektiv sein kann, wenn es stetig ist.

Schöne Grüße

Mister

PS: Der andere Fall, \( f(a) \geq f(b) \), ist entsprechend mit \( x_1 \) und \( x_2 \) zu führen.