Grenzwert der rekursiven Folge bestimmen mit a0:= b, a1:=b und an:=1/2 (a_(n-2) + a_(n-1))

Question

ich muss eine Aufgabe berechnen und weiß nicht weiter:

Die Folge definiert durch a0 = a , a1 = b mit a,b reell und an $$  \frac { 1 }{ 2 } ({ a }_{ n-1 }+{ a }_{ n-2 })\quad für\quad n\quad \epsilon \quad { N }_{ \ge 2 } $$

Hinweis: Finden Sie einen expliziten Ausdruck für

$$ { a }_{ k+1 }\quad -\quad { a }_{ k }\quad und\quad betrachten\quad Sie\quad die\quad Summe\quad \sum _{ k\quad =\quad 0 }^{ n }{ ({ a }_{ k+1 }\quad -\quad { a }_{ k }) }  $$

Schonmal vielen Dank

Answer 1

Was hindert dich daran zum Verständnis dir die ersten Folgeglieder zu berechnen ?

a0 = a

a1 = b

a2 = a/2 + b/2

a3 = a/4 + 3/4·b

a4 = 3/8·a + 5/8·b

a5 = 5/16·a + 11/16·b

a6 = 11/32·a + 21/32·b

Bearbeite jetzt eventuell den Hinweis. zunächst an den obigen Werten und dann allgemein.

Dann brauchst du nur noch eine geometrische Reihe auswerten und kommst auf den Grenzwert.

Answer 2

Hi,

wenn Du den Tipp nimmst und \( a_{k+1} - a_k \) ausrechnest kommst Du auf

$$ a_{k+1} - a_k = \left( -\frac{1}{2} \right)^k (b - a)   $$ Weiter folgt

$$  \sum_{k=0}^n (a_{k+1} - a_k) = a_{n+1} - a_0 = a_{n+1} - a  $$ und zum anderen gilt

$$  \sum_{k=0}^n (a_{k+1} - a_k) = \sum_{k=0}^n \left( -\frac{1}{2} \right)^k (b - a) = (b-a) \frac{1-\left( -\frac{1}{2} \right)^{n+1} }{1+ \frac{1}{2}}  $$

Also gilt $$  (b-a) \frac{1-\left( -\frac{1}{2} \right)^{n+1} }{1+ \frac{1}{2}} =a_{n+1} - a  $$ und daraus folgt

$$  a_{n+1} =   (b-a) \frac{1-\left( -\frac{1}{2} \right)^{n+1} }{1+ \frac{1}{2}} + a \rightarrow \frac{2}{3} b + \frac{1}{3} a $$

Comments

Wow,

Leider verstehe ich den Schritt

$$ \sum_{k=0}^n \left( -\frac{1}{2} \right)^k (b - a) = (b-a) \frac{1-\left( -\frac{1}{2} \right)^{n+1} }{1+ \frac{1}{2}} $$

noch nicht so Recht, auch wenn's wahrscheinlich offensichtlich ist

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Hi,

das ist die normale geometrische Reihe und \( (b - a) \) kann man vor die Summe ziehen, da das nicht von \( k \) abhängt.

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

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Vielen Dank für Deine Hilfe :-)