Grenzwert der rekursiven Folge bestimmen mit a0:= b, a1:=b und an:=1/2 (a_(n-2) + a_(n-1))

Question

ich muss eine Aufgabe berechnen und weiß nicht weiter:

Die Folge definiert durch a0 = a , a1 = b mit a,b reell und an $$\frac { 1 }{ 2 } ({ a }_{ n-1 }+{ a }_{ n-2 })\quad für\quad n\quad \epsilon \quad { N }_{ \ge 2 }$$

Hinweis: Finden Sie einen expliziten Ausdruck für

$${ a }_{ k+1 }\quad -\quad { a }_{ k }\quad und\quad betrachten\quad Sie\quad die\quad Summe\quad \sum _{ k\quad =\quad 0 }^{ n }{ ({ a }_{ k+1 }\quad -\quad { a }_{ k }) }$$

Schonmal vielen Dank

Answer 1

Was hindert dich daran zum Verständnis dir die ersten Folgeglieder zu berechnen ?

a0 = a

a1 = b

a2 = a/2 + b/2

a3 = a/4 + 3/4·b

a4 = 3/8·a + 5/8·b

a5 = 5/16·a + 11/16·b

a6 = 11/32·a + 21/32·b

Bearbeite jetzt eventuell den Hinweis. zunächst an den obigen Werten und dann allgemein.

Dann brauchst du nur noch eine geometrische Reihe auswerten und kommst auf den Grenzwert.

Answer 2

Hi,

wenn Du den Tipp nimmst und $a_{k+1} - a_k$ ausrechnest kommst Du auf

$$a_{k+1} - a_k = \left( -\frac{1}{2} \right)^k (b - a)$$ Weiter folgt

$$\sum_{k=0}^n (a_{k+1} - a_k) = a_{n+1} - a_0 = a_{n+1} - a$$ und zum anderen gilt

$$\sum_{k=0}^n (a_{k+1} - a_k) = \sum_{k=0}^n \left( -\frac{1}{2} \right)^k (b - a) = (b-a) \frac{1-\left( -\frac{1}{2} \right)^{n+1} }{1+ \frac{1}{2}}$$

Also gilt $$(b-a) \frac{1-\left( -\frac{1}{2} \right)^{n+1} }{1+ \frac{1}{2}} =a_{n+1} - a$$ und daraus folgt

$$a_{n+1} = (b-a) \frac{1-\left( -\frac{1}{2} \right)^{n+1} }{1+ \frac{1}{2}} + a \rightarrow \frac{2}{3} b + \frac{1}{3} a$$

Comments

Wow,

Leider verstehe ich den Schritt

$$\sum_{k=0}^n \left( -\frac{1}{2} \right)^k (b - a) = (b-a) \frac{1-\left( -\frac{1}{2} \right)^{n+1} }{1+ \frac{1}{2}}$$

noch nicht so Recht, auch wenn's wahrscheinlich offensichtlich ist

---

Hi,

das ist die normale geometrische Reihe und $(b - a)$ kann man vor die Summe ziehen, da das nicht von $k$ abhängt.

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

---

Vielen Dank für Deine Hilfe :-)