Grenzwert einer rekursiven Folge berechnen

Question

Aufgabe:

Berechne den Grenzwert der rekursiven Folge (a_n) mit

\( a_{1} = 3 \) und \( a_{n} = \frac{a_{n-1}^{2}+1}{a_{n-1}+2} \)

Dabei gilt, dass die Folge (a_n) konvergent mit dem Grenzwert g ist.

\( n \geq 2 \)

Comments

Falls es \(a_n=\dfrac{1+a_{n-1}^2}{2+a_{n-1}^2}\)   heißen sollte, gilt  \(g=\dfrac{1+g^2}{2+g^2}\). Das ist äquivalent zu \(g^3-g^2+2g-1=0\). Diese Gleichung hat genau eine reelle Lösung, die bei etwa \(g\approx0.56984\)  liegt.

Answer 1

Aloha :)

Hier wurde eben noch eine ähnliche Frage gestellt. Schau mal bitte, ob du deine Aufgabe einfach nur fürchterlich falsch aufgeschrieben hast und das eventuell dieselbe Aufgabe ist...

Da \(n\to\infty\) geht, ist der Grenzwert der Folge \(a_n\) derselbe wie der Grenzwert von \(a_{n-1}\):$$a:=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n-1}$$Du kannst also folgende Gleichung aufstellen$$a=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n-1}^2+1}{a_{n-1}+2}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}(a_{n-1}^2+1)}{\lim\limits_{n\to\infty}(a_{n-1}+2)}=\frac{a^2+1}{a+2}$$und nach \(a\) auflosen:$$\left.a=\frac{a^2+1}{a+2}\quad\right|\quad\cdot(a+2)$$$$\left.a(a+2)=a^2+1\quad\right|\quad\text{links ausrechnen}$$$$\left.a^2+2a=a^2+1\quad\right|\quad-a^2$$$$\left.2a=1\quad\right|\quad:2$$$$a=\frac{1}{2}$$

Comments

Hallo Tschakabumba,

ohne formal zu zeigen, dass \(a_n\) konvergiert, kannst du nicht von \(a:=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n-1}\) ausgehen. Ich glaube außerdem, dass \(a_n=\frac{a_{n-1}^2+1}{a_{n-1}^2+2}\) gemeint ist... Dieses Missverständnis rührt daher, dass der Fragesteller die Aufgabe falsch aufgeschrieben hat..

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Richtig, aber ich habe die Aufgabenstellung gelesen, nach der die Konvergenz vorausgesetzt werden kann ;)

Und etwas später wurde eine sehr ähnliche Aufgabe gestellt. Da liegt die Vermutung nahe, dass das hier dieselbe ist...

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Hallo, tut mir leid dass ich die Aufgabe hier so falsch aufgeschrieben habe..ist mir leider erst durch euch aufgefallen. Danke für die Antwort !!

Davon abgesehen das du die Klammern nicht geschrieben hast ist es wichtig ob im Nenner des Bruches das Quadrat steht oder nicht?

Diese Lösung ist NUR richtig, wenn das Quadrat dort nicht steht.

Das solltest du prüfen. Aber meist haben Folgen leicht berechenbare Grenzwerte, sodass ich auch eher davon ausgehen würde das im Nenner kein Quadrat steht und du einen Fehler bei der Notierung gemacht hast. Aber das kannst nur du prüfen.

Answer 2

Hallo,

du zeigst einerseits, dass \(a_n\) monoton fällt und andererseits, dass \(a_n\) nach unten beschränkt ist. Dann weißt du, dass \(a_n\) konvergiert und damit auch jede Teilfolge, also auch insbesondere \(a_{n-1}\). Da für \(n\to \infty\) beide den gleichen Grenzwert haben, kannst du eine Fixpunktgleichung aufstellen.

Answer 3

Mal davon abgesehen das ich hier keine einwandfreie Festlegung der rekursiven Folge finde:

Ein Grenzwert ist ein Wert der sich nicht mehr ändert. Für n gegen unendlich sollte also gelten:

a(n) = a(n-1) = a

Also kann ich folgende Gleichung aufstellen:

a = (a^2 + 1) / (a + 2) → a= 1/2 = 0.5

Ich denke also der Grenzwert ist 1/2.

Comments

Wenn man in einer Frage den Grenzwert bestimmen soll, darf man davon ausgehen, dass es einen Grenzwert gibt.

In dieser Aufgabe gibt es allerdings nicht für jeden Startwert a1 einen Grenzwert.

man könnte also fragen bei welchem Startwert an < an-1 gilt.

1/2 < (a^2 + 1)/(a + 2) < a --> a > 1/2

Solange ein Wert der Folge größer als 1/2 ist der folgende Wert etwas dichter an der 1/2 dran. Was bei einem Startwert von 3 gelten würde. Aber man kann auch zeigen das wenn der Startwert -3 ist, die Folge nicht konvergiert. Dann haben wir aber auch keinen Grenzwert mehr oder?

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Ist die Folge

a1 = 3 ; an = ((an-1)^2 + 1) / ((an-1)^2 + 2)

dann wäre der Grenzwert a = 0.5698402909

Ist die Folge

a1 = 3 ; an = ((an-1)^2 + 1) / ((an-1) + 2)

dann wäre der Grenzwert a = 1/2

Schau also mal ob im Nenner wirklich das Quadrat steht.