Monotonieverhalten einer rekursiven Folge zeigen

Question

Aufgabe:

(Xn) ist rekursiv mit X0 = 1

und Xn+1=\( \frac{Xn}{3} \)+1

a) Zeigen Sie induktiv, dass xn<32 für alle n∈N.

Mein Ansatz:

IA: A(X0) ist Wahr, denn X0 < 3/2, 1=3/2

Was ist die Induktionsvoraussetzung?

Indutionsschluss: Xn+1= \( \frac{Xn}{3} \)+1 <

b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von (xn).

Ansatz:

(Xn) ist (streng?) monoton fallend, denn

X0= \( \frac{1}{3} \)+1=4/3

X1=\( \frac{\frac{4}{3}}{3} \)+1=13/9

X2=...=40/27

X3=...=121/81

Aber wie beweist man das mit dieser bedingung: Xn+1≥Xn ?

c) Zeigen Sie, dass (xn) konvergent ist.

Da hab ich gar kein Plan, wie ich das zeigen soll...

d) Bestimmen Sie den Grenzwert von (xn).

Ansatz:

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( \frac{Xn}{3} \)+1 = \( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( \frac{Xn}{3} \)+1

Answer 1

a) Die Induktionsvoraussetzung ist, dass die Ungleichung für ein beliebiges \(n\) gilt. Wende diese dann im Induktionsschritt auf \(X_n\) an und schätze ab.

b) Du kannst entweder \(\frac{X_{n+1}}{X_n}\geq 1\) zeigen oder \(X_{n+1}-X_{n}\geq 0\).

c) Konvergenz folgt aus Monotonie und Beschränktheit. Monotonie folgt aus b) und die Beschränktheit nach oben aus a).

d) Kannst du \(n\) finden mit \(X_{n+1}=X_{n}\)?

Comments

danke, funktioniert dieser Weg für b) auch?

xn+1 - xn = xn / 3 + 1 - xn =  - 2/3 xn + 1  >#  0

    # denn - 2/3 xn + 1  >  0  ⇔  2/3 xn < 1  ⇔  xn < 3/2

→  (xn)  ist streng monoton steigend

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Dass \(x_n<\frac{3}{2}\) gilt, folgt ja aus a). Du musst schon zeigen, dass \(x_{n+1}-x_n<0\) ist. Gezeigt hast du das ja nicht. Und <, weil du ja sagst, die Folge ist fallend.

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okay, und wie muss man genau bei \( \frac{Xn+1}{Xn} \) ≤ 1 vorgehen?

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Entschuldige, du musst \( \geq 1\)  zeigen. Die Folge ist wachsend. Das heißt \(X_{n+1}-X_n \geq 0\). Da war dein Ansatz schon in Ordnung. Nutze dann bei der Berechnung aus, dass \(x_n\leq \frac{3}{2}\) ist und schätze damit die Differenz nach oben ab.

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und für d dann:

Xn=\( \frac{Xn}{3} \)+1

2/3Xn=1

Xn=3/2

Also\( \lim\limits_{x\to\infty} \) Xn=3/2

?

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Das ist richtig, ja.